高等数学课件1-8

第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点1/160x0x0x函数在无定义、有极限0x函数在的函数值与极限值不等0x函数在的函数值与极限值相等0x函数在有定义、无极限0x0xxy一、函数的连续性设)(xf在某个)(0xU上有定义。对x)(0xU，记自变量的增量（改变量）x=x-x0,对应的函数的增量（改变量）y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)，如果有0lim0yx，即0)]()([lim000xfxxfx,那末就称)(xf在点x0连续，x0称为)(xf的一个连续点。1.连续的定义若)(xf在某个)(0xUo上有定义且在点x0不连续，称)(xf在x0点间断，x0为)(xf的一个间断点。2/16)(xf在点0x连续0)]()([lim000xfxxfx0])()([lim00xxxf-xf)()(lim00xfxfxxf(x)在x0连续的几何特征曲线y=f(x)在x0点不断裂。2.单侧连续的定义;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf单侧连续的几何特征：…。3/16f(x)在x0连续意味着：（1）函数f在某U（x0）内有定义（包含x0点），且（2）函数f在x0有极限（左右极限存在且相等），且（3）函数f在x0点的极限值等于函数f(x0)。函数在一点的的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。定理.)()(00既左连续又右连续在连续在xxfxxf例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证xxxxxxf证xxx1sinlim00.0)(处连续在xxf)(lim0xfx),0(f证毕4/16例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(ff(x)右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf5/163.连续函数与连续区间若f(x)在区间I的内部每一点处都连续，并且当I含左（右）端点时f(x)在该端点处右（左）连续，则称f(x)是区间I上的连续函数，或者说函数f(x)在区间I上连续，并且称I为f(x)的连续区间。I上连续函数的图形在I上是一条连续而不间断的曲线.几何特征6/16.],[baC在闭区间上的连续函数的集合记作continue)()(lim,),(000xPxPxxx例如,在上连续.(多项式函数)又如,有理函数在其定义域内连续.只要,0)(0xQ都有)()(lim00xRxRxx例.证明函数在内连续.证:),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxxyx0x即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.0还等价于)()(lim00xfxfxx),lim()(lim00xfxfxxxx故“f在点x0连续”意味着：极限运算lim与对应法则f可交换。二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx由此寻找函数的间断点。8/16在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.π2xk为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O1)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.例4处的连续性。在讨论0,0,1;0,)(xxxxxxf解,0)0(f,1)0(f),0()0(ff).(0第一类间断点为跳跃间断点xoxy9/16注意可通过修改函数在可去间断点处的定义,使其变为连续点.例5.1,1,1;1;10,1,2)(处的连续性在讨论xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f.)(0的可去间断点为xfx如例5中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy11210/16注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。★,,1,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxf在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★12/16★)(xxDy仅在x=0一点连续，其余点都是第二类间断点.证f(0)=0，|D(x)|≤1).0()(lim0fxfx即,0lim0xx无穷小）有界函数乘无穷小仍为(,0)(lim0xxDx即函数f(x)=xD(x)在点x=0连续.000,lim()xxxfx不存在,存在，若)(lim,000xxDxxx,limlim00存在则xxD(x)D(x)xxxx矛盾！从而不连续。o1x2x3xyxxfy判断下列各间断点类型:例813/16例9.0,0,,0,cos)(,处连续在取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a14/16三、小结1.函数在一点连续的定义及必须满足的三个条件;3.间断点的分类:2.函数在区间上连续的定义;15/16第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在作业习题1-3一、二、思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？16/16一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.1、1,31,1)(xxxxxf在Rx上.2、xxxftan)(,在Rx上.四、讨论函数nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断点，判断其类型.五、试确定ba,的值,使)1)(()(xaxbexfx，（1）有无穷间断点0x；（2）有可去间断点1x.一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.三、1、1x为第一类间断点；2、,2为可去间断点kx)0(kkx为第二类间断点.0,12,,tan)(1xkkxxxxf),2,1,0(k,练习题答案),2,1,0(2,02,,tan)(2kkxkkxxxxf.四、1,0,01,)(xxxxxxf1x和1x为第一类间断点.五、(1);1,0ba(2)eba,1.备用题确定函数间断点的类型.xxxf1e11)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf