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习题77777-1.原长为m5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：cos()xAtωϕ=+,在本题中，kxmg=，所以9.8k=；9.8980.1kmω===振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。所以：0.1cos98xtπ=+（）即0.1cos(98)xt=−7-2.有一单摆，摆长m0.1=l，小球质量g10=m.0=t时，小球正好经过rad06.0−=θ处，并以角速度rad/s2.0=•θ向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。解：振动方程：cos()xAtωϕ=+我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：9.83.13/gradslω===，频率：19.80.522gHzlνππ===，周期：2229.8lTsgππ===（2）根据初始条件：Aθϕ=0cos象限）象限）4,3(02,1(0{sin0−=ωθϕȦ可解得：32.2088.0−==ϕ，A所以得到振动方程：0.088cos3.132.32tθ=−（）7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方cm0.10处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm0.8处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=5cm；1961058.92=×=∆=−xgmK又ω=14196==mk,即ππν721==mk（2）物体在初始位置下方cm0.8处，对应着是x=3cm的位置，所以：03cos5xAϕ==那么此时的04sin5vAϕω=−=±那么速度的大小为40.565vAω==7-4.一质点沿x轴作简谐振动，振幅为cm12，周期为s2。当0=t时,位移为cm6，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）s5.0=t时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm6−=x，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：由题已知A=12×１０-2m，T=2.0s∴ω=2π/T=πrad·s-1又，t=0时，cmx60=，00≻v∴由旋转矢量图，可知：30πφ−=故振动方程为）（3cos12.0ππ−=tx(2)将t=0.5s代入得0.12cos0.12cos0.10436xtmπππ=−==（）0.12sin0.12cos0.188/36vtmsππππ=−−==−（）222/03.16cos12.03cos12.0smta−=−=−−=πππππ）（方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(3)由题知，某时刻质点位于cm6−=x，且向x轴负方向运动即x０=-A/2，且v＜0，故φt=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以：∴t=Δφ/ω=(π/3)／(π)=1/3s7-5.两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在2/1Ax=处，且向左运动时，另一个质点2在2/2Ax−=处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在2/1Ax=处，且向左运动时，相位为π/3，而质点2在2/2Ax−=处，且向右运动，相位为4π/3。所以它们的相位差为π。7-6.质量为m的密度计，放在密度为ρ的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：mggSa=ρ可知浸入水中为a处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力()FgaxSgaSgSxkxρρρ=−−=−=−22dtxdmgSxmFa=−==ρ令mdgmgS422πρρω==可得到：0222=+xdtxdω可见它是一个简谐振动。周期为：gmdTρπωπ4/2==7-7.证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkkkk)(212121+=πν证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：KxxKxK==2211和xxx=+21可得：21111KKK+=所以：2121KKKKK+=代入频率计算式，可得：mkkkkmk)(21212121+==ππν7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？EP=MKMEEEAkkx434121212122===，）（当物体的动能和势能各占总能量的一半：，）（MEkAkx2121212122==所以：20.7072xAA=±=±。7-9.两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)（1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。先分析两个振动的状态：，：211πϕ=A，：222πϕ−=A两者处于反相状态，（反相πϕϕϕ)k(1212+±=−=∆，⋯,,,k210=）所以合成结果：振幅12AAA−=振动相位判断：当121ϕϕ=,AA；当221ϕϕ=,AA；所以本题中，，22πϕϕ−==振动方程：）（）（22cos12ππ−−=tTAAx7-10.两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm20，与第一个振动的位相差为6π。若第一个振动的振幅为cm310。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知°−+=30cos2122122AAAAA=(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×3／２=0.01∴A２=0.1m设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ即cosθ=1.0173.02)02.0()1.0()173.0(22222122221××−+=−+AAAAA=0即θ=π/2，这说明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/27-11.一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm30=A，经过s101=t后，振幅变为cm11=A。问：由振幅为0A时起，经多长时间其振幅减为cm3.02=A？解：根据阻尼振动的特征，)cos(00ϕωβ+=−teAxt振幅为teAAβ−=0若已知cm30=A，经过s101=t后，振幅变为cm11=A，可得：β1031−=e那么当振幅减为cm3.02=Ateβ−=33.0可求得t=21s。7-12.某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求:（1）求振子在水中的振动周期T（2）如果开始时振幅100=A厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（1）有阻尼时2202βωπT−=002ωπT=tβeAA−=0TβeAA−=009.0Tβ9.0ln−=02204(ln0.9)1.000142TTTππ=+=（2）7-13.试画出)42cos(πω+=tAx和tByωcos=的李萨如图形。略，可参考书上的图形。7-14.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=68cos468cos4ππππtytx（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=658cos468cos4ππππtytx（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=328cos468cos4ππππtytx试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。)(sin)cos(21221222222ϕϕϕϕ−=−−+AxyAyAx（1）312πϕϕϕ=−=∆则方程化为：1222=−+xyyx，轨迹为一般的椭圆。（2）πϕϕϕ=−=∆12则方程化为：0221=+)AyAx(xAAy12−=轨迹为一直线。（3）212πϕϕϕ=−=∆则方程化为：1222212=+AyAx轨迹为一圆。7-15.在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z4H107.2×，求垂直方向的振动频率。解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它满足两方向的振动频率比3：2。由水平方向振动频率为z4H107.2×，可得垂直方向的振动频率为z4H108.1×。思考题7-1.试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用22dtdξ+ω２ξ=0描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsinθ，如题4-1图(b)所示．题中所述，ΔSR，故θ=ΔS/R→0，所以回复力为-mgθ．式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR22dtdθ=-mgθ令ω２=g/R,则有22dtdθ＋ω２θ=07-2.简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答：简谐振动的速度：v=-Aωsin（ωｔ＋φ）；加速度：a=-Aω2cos（ωｔ＋φ）；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。7-3.分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。7-4.用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩l∆，由静止开始释放。方法2：使其从平衡位置压缩2l∆，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用21TT、和21EE、表示，则它们满足下面那个关系？(A)2121EETT==(B)2121EETT≠=(C)2121EETT=≠(D)2121EETT≠≠答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择B。7-5.一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从21Ax=运动到Ax=2处所需要的最短时间为多少？答：质点从21Ax=运动到Ax=2处所需要的最短相位变化为4π，所以运动的时间为：84Tt==∆ωπ。7-6.一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置0=x处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为J50，问振子处于2/Ax=处时；其势能的瞬时值为多少？答：由题意，在平衡位置0=