大学物理气体动理论

1热学（Thermology）——研究与热现象有关的规律的科学。热现象：大量分子无规则运动(热运动)的集体表现。(举例说明)热力学系统：由大量分子组成的系统。思考:大量分子都在不停地运动，为什么有的物体在运动，有的物体是静止的？可否用研究力学的方法来研究热学问题???2热学研究方法：⒉宏观法：以实验为基础，研究系统与外界的相互作用规律。⒈微观法：对大量分子的行为作统计分析，建立宏观量与微观量的联系。宏观法与微观法相辅相成。气体分子的质量、速度等等气体的体积、压强、温度等等。3第一章气体动理论(KineticTheoryofGases)主要内容：压强公式温度的微观解释能量均分定理理想气体的内能麦克斯韦速率分布率4§1.1平衡态(EquilibriumState)——系统的宏观性质不随时间改变的状态⒈状态参量——描述系统平衡态的宏观量。e.g.P、V、T、M(质量)、Mmol(摩尔质量)(密度)、E(内能)、S(熵)⑴P(pressure)SI单位：Pa1Pa=1N/m21mmHg=1.333102Pa1atm=1.013105Pa其它单位：5⑵V(volume)SI单位：m3其它单位：1l=10-3m31cm3=10-6m3⑶T(temperature)②摄氏温标(Celsiusscale)单位：℃①开氏温标(Kelvinscale)单位：kTc=Tk-273.15目前，T(min.)=2.41011k(激光冷却法)6⒉P-V图ABPV0点——平衡态线——准静态过程(过程中的每一时刻，系统都几乎处于平衡态)⒊两个系统的热平衡AB导热板由导热板隔开的两个系统共同达到平衡态时，称它们达到了热平衡。此时必有TA=TB7AB绝热板导热板C与第三个系统达到热平衡的两个系统，互相之间也达到热平衡。——热力学第零定律此时有TA=TC=TB§1.2理想气体状态方程（IdealGasEquationofState）RTMMPVmol——理想气体状态方程(Clapeyronsequation)8M——气体质量(kg)Mmol——摩尔质量(kg/mol)R=8.31J/molk——普适气体常量or摩尔气体常量Note:状态方程的另一形式：P=nkTn——单位体积内气体分子数k=1.3810-23J/k——玻尔兹曼(Boltzmann)常量[来历]nkTTNRNMMVRTMMVPAAmolmol119§1.3压强公式（ExpressionforPressure）推导：理想气体分子模型＋统计方法⒈理想气体分子模型⑴分子的行为犹如粒子；(分子线度(1Å)分子间距(10Å),当作质点)分子碰撞频率1010/s相邻两次碰撞之间的时间间隔(10-10s)每次碰撞的作用时间(10-13s)⑵除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用；10⑶碰撞是弹性的；⑷分子的运动服从经典力学规律。(分子速度(~102m/s)光速)⒉统计方法用于揭示大量偶然事件的整体规律。是偶然事件的一种统计描述——概率定义：iiiNNppi——事件i发生的概率Ni——事件i发生的次数∑Ni——各种事件发生的总次数Note:稀薄的实际气体(n很小)接近理想气体11对理想气体的统计假设：统计规律的特点：只对大量的偶然事件才有意义；是不同于个体规律的整体规律；存在涨落。①平衡态下，分子的空间分布均匀②平衡态下，分子的速度分布是各向同性的；③平衡是动态的，即整体分布不变，但单个分子的位置和速度是不断改变的。)/,(302222vvvvvvvzyxzyx12⒊压强公式的推导XYZL1L3L2Aoikvjvivviziyix设总分子数：N器壁侧面积：A第i分子的速度：)0(ixv⑴在t时间内,第i分子对器壁的平均作用力①一次碰撞给予器壁的冲量：13器壁→分子：ixixixixmvmvmvI2)(分子→器壁：ixixixmvII2②在t时间内，碰撞的概率：1Ltvpix∵仅当分子位于距器壁vixt近的范围内,才会与器壁碰撞③在t时间内，分子给器壁的平均冲量：Iixp④在t时间内，分子对器壁的平均作用力：122LmvtpIFixixix14⑵在t时间内，所有分子对器壁的总作用力212121021032122vLmNvNLmvLmvLmFFxiixvixvixxixixtnP32压强公式：压强是统计量。⑶气体的压强txxnvmVNvVmNLLFAFP32213232232分子的平均平动动能15§1.4温度的微观解释(TheMicroscopicInterpretationofTemperature)tnP32状态方程：P=nkT压强公式：kTt23表明：温度是分子平均平动动能的标志。——温度的微观解释Note:①温度也是统计量，它反映大量分子运动的剧烈程度。16②221vmtkTt23molMRTmkTv332e.g.氮气(N2),Mmol=2810-3kg/molT=0℃,T=100℃,smv/4932smv/5762③当T0K时，不再成立。kTt23原因：根据近代物理，当T0时，0t17223213232vVMvmVNnPt[例1-1]容积V=10l，气体质量M=100g若分子方均根速率则压强P=?mmHgsmv/2002解：223310333.11)200(1010310100)(100.13mmHg222333vVMvvmnnkTP解法二：1823vVMRTVMMPmol解法三：§1.5能量的均分(EquipartitionofEnergy)问题：与T有关，分子的转动动能、振动动能是否也与T有关？t⒈自由度(degreesoffreedom)确定一个物体的空间位置所必需的独立坐标数。e.g.单原子分子：i=319刚性双原子分子：i=5刚性多原子分子：i=6Notes:①刚性分子只有平动和转动自由度，非刚性分子还有振动自由度。②在低温下，分子的某些自由度可能被“冻结”。(用量子理论解释)20T102k，i=3(平动)102kT103k，i=5(平动+转动)T103k，i=6(平动+转动+振动)e.g.刚性双原子分子，i=5，每个分子的平均动能为，其中，.kT25kTkTrt,23⒉能量均分定理—在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于kT21e.g.H2分子21⒊理想气体的内能一般，系统内能＝粒子热运动动能＋粒子之间相互作用势能刚性分子理想气体：E=Ek(平动＋转动)RTiMMkTiNMMNEmolAmolkk22RTiMMEmol2一定量理想气体内能是温度的函数，ET,ET22[例1-2]一瓶H2气和一瓶He气，P、V、T均相同，则H2气的内能是He气的倍。解：PViRTiMMEmol223522eeHHHHiiEE[思考]①结果的物理解释？②若仅知P、V相同，结果？物理内涵有何不同？23[例1-3]单原子气体，密度，压强Ｐ，则分子方均根速率为，单位体积气体内能为。解：⑴PMPVMRTvmol3332⑵PkTnnEk2323[思考]①其它解法？§1.6分子速率的分布(DistributionofMolecularSpeeds)②单位质量气体内能？24学号年龄身高体重01191.73m60kg02201.60m50kg03181.73m70kg...........................29191.84m66kg30201.50m45kg北京工业大学04级某班同学的年龄、身高、体重25平均年龄年龄在17~18,18~19,…,20~21岁的同学的%:3023053010309304fi,,,,平均年龄=17岁a%＋18岁b%＋19岁c%=年龄n%1fi-----归一化条件73.18302215201019918417251094221520101991841726------归一化年龄分布函数图年龄(y)00.050.10.150.20.250.30.351415161718192021222324•每一条矩形面积表示在一个年龄段内人数的百分比f(y)•f(y)为单位年龄间隔内人数的百分比•所有矩形的总面积等于1067030216703053330301030003091330304.....f(y)27⒈速率分布函数平衡态下，单个分子速率因碰撞而改变，但系统中处于不同速率区间的分子数占总分子数的百分比不随时间变化。定义：NdvdNvfv)(N：总分子数dNv：速率在v~v+dv区间的分子数f(v)表示速率在v附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。性质：1)(0dvvf——归一化条件28Note:问某一速率的分子数有多少,无意义.e.g.f(v)v0vv0v+dvv2v1NdNdvvfv)(21)(vvdvvf——速率在v1~v2区间的分子数占总分子数的百分比。1)(00vdvvf归一化条件:29⒉麦克斯韦速率分布率1859年，Maxwell导出理想气体平衡态下：其中kTmBkTmA2,)2(42/3m——分子质量k——Boltzmann常量T——温度22)(BveAvvf——Maxwellianf(v)1)(0dvvf满足:302412BdvevBv30曲线形状：f(v)v0T1,m1T2,m2对应于：m1=m2,T2T1orT1=T2,m2m1Note:f(v)中，v取0~.实际上，由相对论知vc.不过，当vc时,f(v)0,影响可以忽略。31[例1-4]已知f(v)为麦氏速率分布函数，N为总分子数，下列各式物理意义？ppvvdvvNfdvvf)()2()()1(2121)()()4()()3(20vvvvdvvfdvvfvdvvvf答：⑴理想气体平衡态下，vvp的分子数占总分子数的百分比。⑵……，vvp的分子数。⑶……，分子的平均速率。32⑷……，v=v1~v2的分子的速率平方的平均值。⑷的解释：21212121)()()()(22vvvvvvvvdvvNfdvvNfvdvvfdvvfv该区间分子速率平方和该区间分子数[练习]①改变各式积分区间,说明物理意义.②写出有限区间分子的平动动能之和及平均平动动能的表达式.33⒊三个特征速率⑴最概然速率(最可几速率)pvf(v)v0vp由0/)(dvvdfmolpMRTmkTv22得vp物理意义：若将整个速率范围分成许多相等的小区间，则vp所在区间的dNv/N最大。34⑵平均速率vmolMRTmkTdvvvfv88)(0203212BdvevBv的用途：计算分子的平均自由程。v⑶方均根速率2vmolMRTmkTdvvfvv33)(022504832BdvevBv35Note:,2vvvp都mT2v的用途：计算分子的平均平动动能。Boltzmann将麦氏分布推广到有外场作用的情形，给出dxdydzdvdvdveCNdzyxkTEEpk§1.7玻尔兹曼分布(BoltzmannDistribution)36其中dN：速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间，位置在x+dx,y+dy,z+dz区间的分子数C：与速度和位置无关的比例系数该分布称为Boltzmann分布，称为Boltzmann因子。kTEEpke由该分布可得分子数按位置的分布规律e.g.重力场中：kTmghenn0恒温气压公式：kTmghePP037§1.8分子的平均自由程(TheMea