大学物理_上海交通大学下册_11章_课后习题答案

习题1111-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C108.191q，B点上有电荷C108.492q，试求C点的电场强度(设0.04mBC，0.03mAC)。解：1q在C点产生的场强：11204ACqEir，2q在C点产生的场强：22204BCqEjr，∴C点的电场强度：44122.7101.810EEEij；C点的合场强：224123.2410VEEEm，方向如图：1.8arctan33.73342'2.7。11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2，电量为C1012.39的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：∵棒长为23.12lrdm，∴电荷线密度：911.010qCml可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02.0长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。解法1：利用微元积分：201cos4OxRddER，∴2000cos2sin2444OdEdRRR10.72Vm；解法2：直接利用点电荷场强公式：由于dr，该小段可看成点电荷：112.010qdC，则圆心处场强：11912202.0109.0100.724(0.5)OqEVmR。方向由圆心指向缝隙处。11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。①对于半无限长导线A在O点的场强：ji2cmORx有：00(coscos)42(sinsin)42AxAyERER②对于半无限长导线B在O点的场强：有：00(sinsin)42(coscos)42BxByERER③对于AB圆弧在O点的场强：有：20002000cos(sinsin)442sin(coscos)442ABxAByEdRREdRR∴总场强：04OxER，04OyER，得：0()4OEijR。或写成场强：22024OxOyEEER，方向45。11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处O点的场强E。解：电荷元dq产生的场为：204dqdER；根据对称性有：0ydE，则：200sinsin4xRdEdEdER02R，方向沿x轴正向。即：02EiR。11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。解：如图，0200sin44ddldERR，cossinxydEdEdEdE考虑到对称性，有：0xE；∴200000000sin(1cos2)sin4428yddEdEdERRR，oRXYddqEdxyE方向沿y轴负向。11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心O处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dlRd，所带电荷：2dqrdl。利用例11-3结论，有：332222220024()4()xdqrxdldExrxr∴322202cossin4[(sin)(cos)]RRRddERR，化简计算得：20001sin2224Ed，∴04Ei。11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即xE图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S为高斯面，当2dx时，由12SEdSES和2qxS，有：0xE；当2dx时，由22SEdSES和2qdS，有：02dE。图像见右。11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有22Rdr，球冠面一条微元同心圆带面积为：2sindSrrd∴球冠面的面积：200cos2sin2cosdrSrrdr22(1)drr】∵球面面积为：24Sr球面，通过闭合球面的电通量为：0q闭合球面，由：SS球冠球面球面球冠，∴22001(1)(1)22dqqdrRd球冠。11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。xOr02dxE02d2d2dOdxOrsinr解：由高斯定律01iSSEdSq内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。（1）当rR时，202rlrlE，有02Er；（2）当rR时，202RlrlE，则：202RrE；即：020()2()2rrRERrRr；图见右。11-10．半径为1R和2R（21RR）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：（1）1Rr；（2）21RrR；（3）2Rr处各点的场强。解：利用高斯定律：01iSSEdSq内。（1）1rR时，高斯面内不包括电荷，所以：10E；（2）12RrR时，利用高斯定律及对称性，有：202lrlE，则：202Er；（3）2rR时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE，则：30E；即：112020ˆ20ErRErRrRrErRE。11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离dOO，如图所示。求：（1）在球形空腔内，球心O处的电场强度0E；（2）在球体内P点处的电场强度E，设O、O、P三点在同一直径上，且dOP。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。（1）以O为圆心，过O点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：13043SEdSd003dE，方向从O指向O；（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：ErR02Ro13043SEdSd103PdE，方向从O指向P，过P点以O为圆心，作一个半径为d2的高斯面。根据高斯定理有：23043SEdSr32203PrEd，∴12320()34PPrEEEdd，方向从O指向P。11-12．设真空中静电场E的分布为Ecxi，式中c为常量，求空间电荷的分布。解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有：0SEdScxS由高斯定理：01SSEdSq内，设空间电荷的密度为()x，有：0000()xxSdxcxS∴00000()xxxdxcdx，可见()x为常数0c。11-13．如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为1R和2R，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：tan2rx，环面圆宽：cos2dxdl22tan2cos2dxdSrdlx，利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0x处电势的表达式：220014qUrx环，有：22002tan2cos12tan422(tan)2dxxdUdxxx，考虑到圆台上底的坐标为：11cot2xR，22cot2xR，∴U210tan22xxdx21cot2cot02tan22RRdx210()2RR。rxcos2dxdlyxzSo0x11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处（rR）P点的电势。解：利用高斯定律：01SSEdSq内可求电场的分布。（1）rR时，32304QrrER内；有：304QrER内；（2）rR时，204QrE外；有：204QEr外；离球心r处（rR）的电势：RrrRUEdrEdr外内，即：320044RrrRQrQUdrdrRr2300388QQrRR。11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为1R，外表面半径为2R．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当1rR时，因高斯面内不包围电荷，有：10E，当12RrR时，有：203132031323)(4)(34rRrrRrE，当2rR时，有：20313220313233)(4)(34rRRrRRE，以无穷远处为电势零点，有：21223RRRUEdrEdr2RdrrRRdrrRrRR203132203133)(3)(21)(221220RR。11-16．电荷以相同的面密度分布在半径为110rcm和220rcm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V3000U。（1）求电荷面密度；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？（212120mNC1085.8）解：（1）当1rr时，因高斯面内不包围电荷，有：10E，当12rrr时，利用高斯定理可求得：21220rEr，当2rr时，可求得：2212320()rrEr，∴212023rrrUEdrEdr2122221122200()rrrrrrdrdrrr)(210rrPrRPo1rO2r那么：2931221001085.810303001085.8mCrrU（2）设外球面上放电后电荷密度'，则有：0120'(')/0Urr，∴12'2rr则应放掉电荷为：2'22234()42qrr1243.148.85103000.296.6710C。11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为0r。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为：204qEr（rR）。取细线上的微元：dqdldr，有：dFEdq，∴0020000ˆ44()rlrqqlrFdrxrrl（ˆr为r方向上的单位矢量）（2）∵均匀带电球面在球面外的电势