2020年考研数学二真题及解析

Borntowin第1页2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x时，下列无穷小量中最高阶是（）（A）201xtedt（B）20ln1xtdt（C）sin20sinxtdt（D）1cos20sinxtdt【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A）222011xtxedtex（B）220ln1ln1xtdtxx（C）sin2220sinsinsinxtdtxx（D）1cos22301sinsin(1cos)sin2xtdtxxx经比较，选（D）（2）函数11ln1()(1)(2)xxexfxex的第二类间断点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x，由此11121111ln1lim()limlimln1(1)(2)3(1)xxxxxexefxxexe；111000ln1ln(1)1lim()limlim(1)(2)22xxxxxexexfxexxe；Borntowin第2页1111111111111ln1ln2lim()limlim0;(1)(2)1ln1ln2limlim;(1)(2)1xxxxxxxxxxxexfxeexeexeexe；112222ln1ln31lim()limlim(1)(2)(1)2xxxxxexefxexex故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C）正确。（3）10arcsin1xdxxx（）（A）24（B）28（C）4（D）8【答案】（A）【解析】令sinxt，则2sinxt，2sincosdxttdt21222000arcsin2sincos22sincos410xtdxttdttdttttxx（4）2ln1,3fxxxn时，0nf（A）!2nn（B）!2nn（C）2!nn（D）2!nn【答案】(A)【解析】由泰勒展开式，1ln(1)nnxxn，则2213ln(1)2nnnnxxxxnn，故()!(0).2nnfn（5）关于函数,0,,0,0xyxyfxyxyyx给出以下结论①0,01fx②0,01fxy③,0,0lim(,)0xyfxy④00limlim(,)0yxfxyBorntowin第3页正确的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B）【解析】0,000,00,00limlim10xxfxffxxxx，①正确0,00010,0,00,limlim,0yyfffyyxxxfxyyy而0,fyx000,0,1limlimlim0xxxfxyfyxyyxyxxx不存在，所以②错误；0,0,0,xyxyxxyy从而,0,0xy时，,0,0lim(,)0xyfxy，③正确。00,00lim,,,0xxyyfxyyx或从而00limlim(,)0yxfxy，④正确（6）设函数()fx在区间[2,2]上可导，且'()()0fxfx.则(A)(2)1(1)ff(B)(0)(1)fef(C)2(1)(1)fef(D)3(2)(1)fef【答案】(B)【解析】构造辅助函数()()xfxFxe，由2'()()'()()'()xxxxfxefxefxfxFxee，由题意可知，'()0Fx，从而()()xfxFxe单调递增.故(0)(1)FF，也即01(0)(1)ffee，又有()0fx，从而(0)(1)fef.故选(B).（7）设4阶矩阵ijAa不可逆，12a的代数余子式120A,1234,,,为矩阵A的列向量组，*A为A的伴随矩阵，则*0Ax的通解为（）（A）112233xkkk，其中123,,kkk为任意常数（B）112234xkkk，其中123,,kkk为任意常数Borntowin第4页（C）112334xkkk，其中123,,kkk为任意常数（D）122334xkkk，其中123,,kkk为任意常数【答案】（C）【解析】A由于不可逆，4rA故，0A.由*1201413ArArA，，则3rA，*1rA，故*0Ax的基础解系中有413个无关解向量。此外，*0AAAE，则A的列向量为*0Ax的解。则由120A，可知134,,线性无关（向量组无关，则其延伸组无关），故*0Ax的通解为112334xkkk，即选项（C）正确。（8）设A为3阶矩阵，12,为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于特征值1的特征向量，则1100010001PAP的可逆矩阵P为（）（A）1323,,（B）1223,,（C）1332,,（D）1232,,【答案】（D）【解析】设123(,,)P，若1100010001PAP，则13,应为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，2应为A的属于特征值1的线性无关的特征向量。这里根据题设，12,为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，则12也为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量。又因3为A的属于1的特征向量，则3也为A的属于特征值1的特征向量。且123212312321231232100100(,,)(,,)101101010010(,,)(,,)3,,,,rr由于可逆，故即线性无关Borntowin第5页综上，若1231232()(,,),,P，则1100010001PAP.因此选项（D）正确。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设221ln1xtytt，则221dytdx【答案】2【解析】22211111tdydyttdtdxdxttttdt22dydx22231111ddydttttdxdtdxttt2221dytdx(10)11301ydyxdx【答案】22219【解析】交换积分次序，原式2113230003133320111112211122103339xdxxdyxxdxxdxx(11)设arctansinzxyxy，则0,dz【答案】1dxdy【解析】22coscos,1sin1sinyxyxxyzzxyxyxyxyxyBorntowin第6页将0,带入得1,1zzxy因此0,dz1dxdy(12)斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为________.【答案】313ga【解析】以水面向右为x轴，以垂直于三角板斜边向上为y轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为yxa，取微元dy，则此时22()dFyxgdygyyady，则一侧的压力03203212()().33aaFgyyadygyayga（13）设yyx满足'''20yyy，且'00,01yy，则0yxdx【答案】1【解析】由方程可得特征方程为2210,则特征方程的根为121,1,则微分方程的通解为12xxycecxe，由'00,01yy可得120,1cc，则xyxxe，则001xyxdxxedx（14）行列式011011110110aaaa【答案】424aa【解析】2324201110000111111101011110012221124aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaBorntowin第7页三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求曲线101xxxyxx的斜渐近线【答案】112yxee【解析】由11limlimlim1(1)(1)xxxxxxyxkxxex1lnln1111111200111lim()lim()lim()lim(1)(1)1ln1111lim(ln1)limlim.12(1)2xxxxxxxxxxxxxttxbyxxxeexeexeetxtexxteexxtte洛故斜渐近线方程为：112yxee.（16）（本题满分10分）已知函数fx连续且0lim1xfxx，10gxfxtdt，求gx并证明gx在0x处连续.【答案】'20102()10xxgxfxfuduxxx【解析】因为0lim1xfxx，并且()fx连续，可得'(0)0,(0)1ff.1001xgxfxtdtxtufudux，当0x时，(0)0g.故00010xxgxfuduxx，又Borntowin第8页0'0002001000limlim00()1limlim22xxxxxxfudugxgxgxxfudufxxx导数定义则'20102()10xxgxfxfuduxxx，又因为'20002000'()1limlim()1limlim111022xxxxxxfxgxfuduxxfxfuduxxg所以gx在0x处连续（17）（本题满分10分）求33,8fxyxyxy极值【答案】111(,)612216f极小【解析】令'2'2(,)30(,)240xyfxyxyfxyyx得1060112xxyy或.当驻点为(0,0)时，''''''(0,0)0(0,0)1(0,0)0xxxyyyAfBfCf，则20ACB，故(0,0)不是极值点.当驻点为11(,)612时，''''''11(,)161211(,)161211(,)4612xxxyyyAfBfCf，则20,10ACBA，故11(,)612为极Borntowin第