矢量分析

矢量代数赵黎晨第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若123(,,)aaaa123(,,)bbbb则a,b的点乘(也称标量积)112233abababab(cosabbaab)a,b的叉乘(也称矢量积))()()(122133113223321321321321babaebabaebabaebbbaaaeeeba的大小basinab，为a,b的夹角方向：既垂直于a，又垂直于b,与ba,满足右手螺旋关系。叉乘的不可交换性abba2.三个矢量的混合积112233()()()()cabcabcabcab=)()()(122133113223321babacbabacbabac几何解释:以cba,,为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.()()()abcbcacab(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。()()()()abcacbbaccba(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。()()abcabc3.三个矢量的叉乘令()cabf则123123233231131221eeefcccabababababab1212213311312233122331112233111223311()()()()()()()()fcababcababacbcbbcacaacbcbcbbcacacaacbbca同理222()()facbbca333()()facbbca故()()()cabfcbacab而()()()abccabcba二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。(“远正近负，再取和”)二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点．．．，都对应着某个物理量的一个确定的值．．．．．．，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标t空间坐标(,,)xxyzixjykz，,,ijk构成右手系。标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号标量场()x矢量场()FFx张量场TTx（）4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。三、场分析及其微分特征量（矢量微分）整体上来看分析场的奇异性，敛散性局域上来看函数某点附近的性质，微分特征量。1.梯度在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。为此，引入方向导数，梯度的概念。(1)方向导数方向导数给出了函数()x在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。函数()x在M点l方向上的方向导数为（场的空间坐标为()xxl）()(),(),()dxdxlylzldldlxyzxlylzll方向上的单位矢量0xyzlijklll。cosxl，cosyl，coszl在M点l方向上的方向余弦。其余三个数x，y，z也可视为某一矢量的坐标xyzGeeexyz。(2)梯度在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：xyzgradeeexyz。这样上式可以表示为0dldl。从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数()x上升最快的方向，大小为其改变率数值。(3)梯度的性质（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）方向导数是梯度在该方向上的投影；（3）梯度的方向为指向()x增加最快的方向。2.散度：(1)通量通量的定义，设有矢量场F，沿某一有向曲面S的某一侧面的曲面积分sFdS叫做矢量场F向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;2.通量可以叠加;3.若为闭合面，sFdS，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。根据通量的正负可以得知S内有产生通量的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。但仅此还不能了解源在S内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了描述上述问题，我们引入散度的概念。(2)散度散度(divergence)的定义0limssVsFdSdivffV散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收通量的能力）。其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量之负源，其绝对值divf就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。对于流体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单位体积内所产生的流体质量）。(3)散度的性质（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。（2）在直角坐标系下有yxzfffdivffxyz3．旋度（1）环量的定义：设有矢量场F，则沿场中某一闭合的有向曲线l的曲线积分lFdl称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。我们已知磁场中有lHdlI由上式可以知道，磁场H的环量，I为通过磁场中以l为边界的一块面积S的总的电流强度。显然，仅此还不能了解磁场中任一点M处通向任一方向n的电流密度（即在点M处沿n的方向，通过与n垂直的单位面积的电流强度）。为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。（2）环量面密度。设M为矢量场F中的一点，在M点处取定一个方向n，再过M任作一微小曲面S，以n为其在M点处的法矢，对此曲面，我们同时又以S表其面积，其周界l之正向取作与n构成右手螺旋关系。则矢量场沿l之正向的环量与面积S之比，当曲面S在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，若S的极限存在，则称其为矢量场F在点M处沿方向n的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作n，即，limlimlnSMSMFdlSS例如，在磁场强度H所构成的磁场中的一点M处，沿方向n的环量面密度，limlimlnSMSMHdlIdISSdS(电流密度)。又如在流速场v中的一点M处，沿方向n的环量面密度为limlimlttnSMSMvdlQdQSSdS即为在点M处与n成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度（或环流强度）。单位时间单位面积流走的电荷电量。从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。这个矢量我们称之为旋度.下面，我们给出旋度的定义，（3）旋度若在矢量场F中的一点M处存在这样的一个矢量R，矢量场F在点M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是R，则称矢量R为矢量场F在点M处的旋度(rotation,curl)，记作rotF，即rotFR简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。(4)旋度的性质（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即有nnrotF。0limlnSFdlnrotFS例子1:在磁场H中，旋度rotH是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电流密度。在电学上称rotH为电流密度矢量。例子2:在流速场v中，旋度rotv是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，其模即为最大环流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的环流密度。（3）在直角坐标系中()()()xyzyyxxzzxyzxyzeeeffffffrotffeeexyzyzzxxyfff例题：设一刚体绕过原点O的某个轴l转动，其角速度为123ijk，则刚体上的每一点处都具有线速度v，从而构成一个线速度场。由运动学知道，矢径为rxiyjzk的点M的线速度为vr233112()()()zyixzjyxk，求线速度v的旋度。解：由速度场的雅可比（Jacobi）矩阵323121000Dv得1232222rotvijk这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点M的旋度，除去一个常数因子外：恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。注，对于一个矢量(,,)xyzfxyzifjfkf，雅可比矩阵可以表示为xxxyyyzzzfffxyzfffDfxyzfffxyz其中对角元xfx，yfy，zfz之和为divf，其余六个正好是旋度的公式中所需要的。按照逆S顺序排列，每两个作为一组求和，其中后面的偏导数前面加负号，并且按照,,ijk的顺序排列。四、几个重要定理1．牛顿—莱布尼兹定理()()babadl（由方向导数的公式0dldl，得ddl，从a到b取积分得到()()bbaabaddl）2．奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（Gauss）公式，奥高公式）：SVfdSfdV闭曲面S为V的表面，sd等于ds乘以外法线方向单位矢量。（在矢量场中任取体积V，包围这个体积的闭合面为S，用垂直于坐标轴的三组平行面把体积V分割成许多无限小的六面体（分割足够细，可以看成六面体），由散度的定义0limssVsFdSdivffV可知，通过每个六面体表面的通量是SVffdV，在S所围的体积V中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们每个同时是相邻两个小六面体的表面，但是对于这两六面体，此面的法线方向应当是相反的，所以此面的通量对一个六面体来说是正的对另一个就是负的，因而在求和时，所有内部的面上通量都互相抵消，另一种是外部的面，它们是面S的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过面S的通量即sFds，最后得到SVfdSfdV）3.斯托克斯（stokes）公式：LSfdlfdS闭曲线L为S的边界。S方向与L成右手螺旋关系。（在矢量场A中，任取一个非闭合面S，它的圆周界长度为l