高等数学上册教案设计

实用标准文档文案大全高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合1、集合概念实用标准文档文案大全具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)},,,{321aaaA2)}{PxxA的性质元素与集合的关系：AaAa一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作BA若作BA且BA则称A是B的真子集。空集：A2、集合的运算并集BA：}Ax|{xBABx或交集BA：}Ax|{xBABx且差集BA\：}|{\BxAxxBA且全集I、E补集CA：集合的并、交、余运算满足下列法则：实用标准文档文案大全交换律、ABBAABBA结合律、)()(CBACBA)()(CBACBA分配律)()()(CBCACBA)()()(CBCACBA对偶律(cccBABA)cccBABA)(笛卡儿积A×B}|),{(ByAxyx且3、区间和邻域开区间),(ba闭区间ba,半开半闭区间baba,,有限、无限区间邻域：)(aU}{),(axaxaUa邻域的中心邻域的半径去心邻域),(aU左、右邻域二、映射1.映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称实用标准文档文案大全f为从X到Y的映射，记作YXf：其中y称为元素x的像，并记作)(xf，即)(xfy注意：1）集合X；集合Y；对应法则f2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一3)单射、满射、双射2、映射、复合映射三、函数1、函数的概念：定义：设数集RD，则称映射RDf:为定义在D上的函数记为Dxxfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f、g、函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２2)ｙ＝x3)符号函数4)取整函数xy（阶梯曲线）010001xxxy实用标准文档文案大全5)分段函数11102xxxxy2、函数的几种特性1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值)(1xf与)(2xf的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)(xf关系决定)图形特点(关于原点、Y轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf)3、反函数与复合函数反函数：函数)(:DfDf是单射，则有逆映射xyf)(1，称此映射1f为f函数的反函数函数与反函数的图像关xy于对称复合函数：函数)(ygu定义域为D1，函数)(xfy在D上有定义、且1)(DDf。则)())((xfgxfgu为复合函数。(注意：构成条件)4、函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、初等函数：实用标准文档文案大全1)幂函数：axy2)指数函数：xay3)对数函数)(logxya4)三角函数)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5)反三角函数)arcsin(xy，)arccos(xy)cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数6)双曲函数2xxeeshx2xxeechxxxxxeeeechxshxthx注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxshshychxchyshxyxsh)()()()(反双曲函数：arthxyarchxyarshxy作业：同步练习册练习一实用标准文档文案大全第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：naaaaa4321缩写为nu例1数列n1是这样一个数列nx，其中nxn1，5,4,3,2,1n也可写为：514131211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01limnn1、极限的N定义：axNnNn0则称数列nx的极限为a，记成axnnlim也可等价表述：1）)(0axNnNn实用标准文档文案大全2）)(0aOxNnNn极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1：如果数列nx收敛，那么它的极限是唯一定理2如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界定理3：如果axnxlim且a0(a0)那么存在正整数N0，当nN时，)0(0nnxx定理4、如果数列}{nx收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。第三节：函数的极限一、极限的定义1、在0x点的极限1）0x可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在0x有没有定义，以及函数值)(0xf的大小。只要满足：存在某个0使：Dxxxx),(),(0000。2）如果自变量x趋于0x时，相应的函数值)(xf有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为：Axfxx)(lim0。形式定义为：实用标准文档文案大全Axfxxx)()0(00注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、x的极限设：),()(xxfy如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线Ay-----则称函数在无限远点有极限。记为：Axfx)(lim在无穷远点的左右极限：)(lim)(xffx)(lim)(xffx关系为：)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列nx，如果成立如下的命题：nxNnN0则称它为无穷小量，即实用标准文档文案大全0limnxx注：1、的意义；2、nx可写成0nx；),0(nx3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的nx与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程0xx（或)x中，函数xf具有极限A的充分必要条件是Axf)(，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列nx，如果成立：GxNnNGn0那么称它为无穷大量。记成：nxxlim。特别地，如果GxNnNGn0，则称为正无穷大，记成nxxlim特别地，如果GxNnNGn0，则称为负无穷大，记成nxxlim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf实用标准文档文案大全为无穷小；反之，如果)(xf为无穷小，且0)(xf则)(1xf为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0nx时：有nxxx1lim0lim01limlimnxxx注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设nx和ny是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（2）对于任意常数C，数列nxc也是无穷小量：0)(lim0limnxnxxcx（3）nyxn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（4）nx也是无穷小量：0lim0lim00nxxnxxxx（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算实用标准文档文案大全1、若函数f和g在点0x有极限，则)(lim)(lim))()((lim000xgxfxgxfxxxxxx2、函数f在点0x有极限，则对任何常数a成立)(lim))((lim00xfaxfaxxxx3、若函数f和g在点0x有极限，则)(lim)(lim))()((lim000xgxfxgxfxxxxxx3、若函数f和g在点0x有极限，并且0)(lim0xgxx，则)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点0x有极限例：求下述极限4、复合函数的极限运算法则定理6设函数)}([xgfy是由函数)(ufy与)(xgu复合而成，93lim23xxx4532lim21xxxx357243lim2323xxxxx52123lim232xxxxx12352lim223xxxxxxxxsinlim实用标准文档文案大全)]([xgf在点0x的某去心邻域内有定义，若0)(lim0uxgxx，Aufuu)(lim0，且存在00，当),(000xux时，有0)(uxg，则第六节：极限存在准则两个重要极限定理1夹逼定理：三数列nx、ny和nz，如果从某个号码起成立：1）nnnzyx，并且已知nx和nz收敛，2）nxnxzaxlimlim，则有结论：aynxlim定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。例：证明：1sinlim0xxx例：xxxtanlim020cos1limxxxxxxarcsinlim0Aufxgfuuxx)