3.函数的单调性(北师大版国家级优质课一等奖)

12345-1067x89y-2-3-4-5-6引例1函数的图象是上升的.fxx()fxx()(,)我们就说函数在区间上是增加的.yxyox11yox-11yx引例2函数的图象是下降的.f(x)x(,)我们就说函数在区间上是减少的.f(x)xy=x2Oxy1·1·此函数在区间内是减少的，在区间内是增加的。引例2[0,+∞)（-∞,0]y246810O-2x84121620246210141822A()yfx24对区间A内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)图象在区间A逐渐上升？OxAy区间A内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间A内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)对区间A内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)图象在区间A逐渐上升？区间A内随着x的增大，y也增大f(x1)f(x2)Ox1x2xAyMNOxAyx1x2f(x1)f(x2)MNy246810O-2x84121620246210141822()yfx24函数的单调递增区间有：函数的单调递减区间有：[4，14]和[18，21][0，4]，[14，18]和[21，23]判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；函数的单调性是对定义域的某个区间而言的，是一个局部概念.判断1：函数f(x)=x2在是增加的；,yxO12f(1)f(2)xyo2yx在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图象是上升的。Oxyx1x2f(x1)f(x2)xOyx1x2f(x1)f(x2)如果函数是减少的，那么它的图象是下降的。如果在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间()yfx概念1（1）如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性。（2）如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数概念2画出函数f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以证明。解：作出f(x)=3x+2的图像。由图看出，函数的图像在R上是上升的，函数是R上的增函数例1xy2-10证明：在R上任意取两个值，且，21,xx21xx∵21xx取值作差变形定号结论1212()()(32)(32)fxfxxx123()xx,021xx∴123()0xx∴即12()()0,fxfx12()().fxfx∴在R上是单调增函数．()32fxx例1画出函数f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以证明。x1yxy(,0)(0,)讨论：根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?？例2说出函数的单调区间,并证明在该区间上的单调性。y1x(x≠0)y1x的单调减区间是和1f(x)x在上是减函数.0(,)证明：设x1，x2是区间(0,＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，121200x,x(,),xx12210xx,xx又12f(x)f(x).121211f(x)f(x)xx2112xxxx例2下面证明在是减函数。1xf(x)=(0,)判断函数单调性的方法步骤①取值：任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：2、函数单调性的定义；4、证明函数单调性的步骤.本节课主要学习了以下内容：3、判断单调性的方法：图象、定义;1、单调函数的图象特征；回顾小结作业：课本第38页习题2-3A组2，3，4，5