时间序列分解法和趋势外推法

第四章时间序列分解法和趋势外推法——确定型时间序列分析预测第三章时间序列分析预测法§4.1时间序列及时间序列分解法§4.2趋势外推法概述§4.3多项式曲线趋势外推法§4.4指数曲线趋势外推法§4.5生长曲线趋势外推法§4.6曲线拟合优度分析§4.1时间序列及时间序列分解法时间序列分析预测技术在国内外早已应用，特别是随着计算技术的发展，经济预测、统计分析等领域已广泛应用时间序列分析预测方法，目前，它已成为世界各国进行经济预测的基本方法之一。时间序列分析预测法分为两类：（1）确定型时间序列分析预测法（2）随机时间序列预测法时间序列的分类时间序列分析预测法根据时间序列的种类不同分为两类：（1）确定型时间序列——包含确定的影响因素的时间序列（趋势因素、季节性因素、循环变动等因素）——统计方法（2）随机时间序列——平稳的时间序列——Box-Jenkins（1976）——建立模型一、时间序列的概念时间序列，又称时间数列或动态数列，它是将预测对象的历史数据按时间先后顺序排列而成的一列数。例如，某种商品2000年至2004年各季度的销售额数据，就是一个时间序列。时间序列一般表示为：二、时间序列预测法及其基本原理时间序列预测法，是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展变化规律，运用一定的数学方法，使这一规律向未来延伸，借以预测经济现象未来发展变化状况和水平的一种经济预测方法。时间序列的数据里，包含了预测对象过去发展变化的信息，通过分析和研究，可以找到时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，根据预测分析的“惯性原理”进行科学的预测。三、时间序列预测法的假定前提运用时间序列预测法进行预测时，有两个假定前提：第一，假定预测对象存在着“惯性”，它的发展是依时间序列所反映出来的变化规律发展变化的，未来同过去一样，发展变化规律保持不变，即预测对象过去的发展趋势、速度和方向，在未来保持不变，预测对象与其影响因素之间的关系比较稳定，没有发生根本性的改变。第二，假设预测对象的变化仅与时间有关。这一假定是把外部复杂影响的作用进行简化，似乎没有考虑因果关系，不计较外部影响因素的作用，但实际上包含了所有影响因素的作用，可以理解为它是把所有影响因素综合地归结为一个因素——时间，这样的简化，从而使预测研究更为方便和有效。§4.2时间序列分解法四、时间序列分解法从影响因素发生作用的效果看，通常可以把时间序列的变动分解为四种类型，即长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。1.长期趋势长期趋势是指时间序列观察值，即经济现象，在较长一段时期内持续存在的变化趋势，它反映预测对象在较长时期内的变动规律。长期趋势是影响预测对象的基本因素作用的数量表现，也是预测对象本质的、内在的数量表现。长期趋势的具体表现有：水平型变动、趋势型变动。趋势型变动又分为上升和下降两种趋势。2.季节变动季节变动一般是经济现象以年为周期，随着季节的更替，每年都重复出现的有规律的周期性变动。广义的季节变动还包括以季度、月份以至更短时间为周期的有规律的变动。这种变动是可以预见的，有规律可循的。季节变动是季节性固定规律作用于经济现象的结果，季节性固定规律大都属于自然方面的，也有社会方面的。如，啤酒的销售量，国内旅游收入等经济现象都有很明显的季节变动。3.循环变动循环变动是指以数年为周期的一种波浪起伏式的变动。在经济预测中，很多经济现象受经济规律和宏观因素的影响，常常存在周期在一年以上而且不固定的变动。因为，这种变动没有固定的周期，没有固定的规律，很难事先预知，所以，往往采用定性预测方法进行判断，利用周期图分析法进行估计。4.不规则变动不规则变动是指由于随机因素和突发事件的作用而引起的变动。这种变动不同于以上三种变动，它没有明显的趋势，没有固定的周期，其变动的方向、力度的大小都是随机的，但是，通过大量的观察，仍能找出其统计规律。通常把不规则变动细分为间歇变动（突发变动）和剩余变动（随机变动、偶然变动）两种。剩余变动很难预计，依据数理统计学的理论，它近似地用期望值为零、方差为一常数的正态分布来描述。时间序列的图形五、时间序列的结构模型时间序列数据的变化，可以看成是长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四类因素共同作用的结果。这四种变动之间的关系，称为时间序列的结构模型。通常分为三种：（1）连乘积关系，称为乘法模型；（2）相加关系，称为加法模型；（3）混合模型。用符号表示为：时间序列的结构模型中，具有相加关系的各种变动，都是和预测对象的计量单位一致的绝对量；具有乘积关系的各种变动，除趋势值是和预测对象计量单位相同的绝对量之外，其余各种变动值都是相对数。在利用时间序列数据进行预测时，如果含有上述四种变动中两种及以上，就要正确地判断时间序列的结构模型，作出正确的假定，这是进行时间序列预测分析的基础。做人，要知足；做事，要知不足；做学问，要不知足。著名外科专家、中科院院士裘法祖§4.2趋势外推法概述时间序列的趋势分析和预测是长期趋势预测的重要方法，它是根据时间序列的变化趋势，经过分析时间序列的变化规律，配合适宜的趋势线模型，采用一定的方法估计出模型中参数，根据“惯性原理”，外推预测未来趋势值的预测方法。本节讨论常用的各种趋势线模型、趋势线模型的选择、模型参数的估计方法及其应用的问题。)(ˆtfyt4.2.1常用趋势线模型及其选择利用时间序列模型预测法进行预测，关键是分析时间序列的变化规律，用数学表达式加以表示，即选择趋势线模型。趋势线模型中的自变量是影响预测对象的各种因素的综合代表——时间（t）。趋势线模型的种类非常多，有线性模型也有非线性模型，归纳起来，常用的趋势线模型有如下几种。一、常用趋势线模型二、趋势线模型的选择当我们收集了预测对象的历史数据，编制了时间序列之后，根据具体的时间序列，如何选择恰当的趋势线模型，就是趋势线模型预测法的关键之一。常用的模型选择方法：目估法；数量特征法；残差平方和最小法。1.目估法销售额折线图0501001502002501234567891011时间销售额2.数量特征法数量特征法是指，通过计算时间序列的各种数量特征，根据数量特征选择相应趋势线模型的方法数量特征法虽然计算量很大，比较复杂，但是，相对目估法来说要精确一些。若能在目估法的基础上用数量特征法选择模型，会大大减少计算工作量。数量特征能表明时间序列的变化规律一阶差分折线图-40-20020406012345678910时间一阶差分二阶差分折线图-40-2002040123456789时间二阶差分三阶差分折线图-60-40-200204012345678时间三阶差分3.残差平方和最小法残差平方和最小法的特点残差平方和最小法给出了明确的选择标准，并且残差平方和反映了预测的精确程度，因此，残差平方和最小法是比较精确的选择模型的方法。但是，它需要首先配合出几种可能的趋势线模型，它的计算量非常大，非常复杂。通常是在目估法和数量特征法的基础上再使用残差平方和最小法选择趋势线模型。4.2.2模型参数的估计方法根据时间序列的数据选择了恰当的预测模型之后，就要估计模型中的参数。模型参数的估计方法有很多种，我们主要讨论最小平方法和三和法。一、最小平方法估计模型参数最小平方法也称最小二乘法（OrdinaryLeastSquare记作OLS），它是以各期观测值与模型的估计值之间的离差平方和作为目标函数，寻求并确定使得此目标函数达到最小值时预测模型中各参数值，并由这些参数建立起较为理想的趋势线模型的方法。最小平方法估计参数的两点要求最小平方法的优点最小平方法的优点在于，由此确定的趋势线模型能够满足以上两点要求，这两点要求恰好是人们确定趋势线模型时的理想。况且，用这样的趋势线模型模拟预测对象的过去，观察值与模型的估计值的离差会均匀地小，出现很大离差的可能比较小。二、三和法三和法又称三段和法，它是用来估计三个参数的趋势线模型的一种方法。其基本思想是：把时间序列平均分成三等段，每段含有m个数据，假定每期数据均在所求趋势线上，分段求和建立方程组求得模型参数估计值。三和法的应用三和法常常用来估计修正指数曲线、龚珀兹曲线和逻辑曲线等非线性模型的参数。三和法是最小平方法的补充。§4.3多项式曲线趋势外推法一、直线模型预测法直线趋势模型可用最小平方法估计参数解：（1）分析资料，选择预测模型计算序列的一阶差分，列于上表,可见一阶差分在35上下波动，接近一常数。同时，绘制历年销售额的散点图，可以看出销售额的变化在一直线上下，因此，可配合直线趋势模型进行预测。（2）用最小平方法估计参数，建立直线趋势预测模型有关分析将各年的值代入预测模型，可得各年的模拟值，见上表。可以看出，模拟值与实际值的偏差很小，说明所求的趋势直线模型能较好地描述该公司1990～2001年销售额的变化规律，因此，所求模型可以用来预测未来。(3)预测2002、2003年的销售额二、多项式曲线模型预测法多项式曲线模型预测法包括二次曲线模型和三次曲线模型等。现分别介绍如下：1.二次曲线模型预测法二次曲线预测法的模型为：二次曲线预测模型的数量特征二次曲线模型可用最小平方法估计参数简捷法参数估计式解：（1）分析资料，选择预测模型计算时间序列的一阶差分和二阶差分，列于表中。一阶差分呈上升趋势；二阶差分在常数6上下波动，因此，可配合二次曲线趋势模型进行预测。（2）用最小平方法估计参数，建立二次曲线趋势预测模型（3）预测2002和2003年的销售量2.三次曲线模型预测法三次曲线预测模型为：三次曲线预测模型的数量特征三次曲线模型可用最小平方法估计参数简捷最小平方法估计参数简捷最小平方法估计式解：（1）选择预测模型（2）用最小平方法估计参数，建立预测模型(3)预测2002和2003年的销售额三、指数曲线模型与对数直线模型预测法指数曲线模型与对数直线模型的关系3.最小平方法估计参数指数曲线预测模型，可以转化为对数直线预测模型后，用最小平方法估计其参数。指数曲线模型和对数直线模型可以对同一时间序列进行预测。最小平方法估计式:简捷最小平方法估计式(2)用最小平方法估计参数，建立对数直线预测模型趋势线预测模型（3）预测2001和2002年的出口额四、修正指数曲线模型预测法修正指数曲线（modifiedexponentialcurve）模型是一种渐近增长曲线。它在经济预测中常常对产品的需求进行预测。1.修正指数曲线的预测模型2.修正指数曲线模型的特征修正指数曲线预测模型的数量特征是，一阶差分的环比为一常数。即：y=800-20*0.8^t7757807857907958008051357911131517192123时间y=2500-2400*0.8^t0500100015002000250030001357911131517192123TimeYvalue3.模型参数的估计方法参数、、的估计，通常采用三和法。具体介绍如下：三和法估计参数折线图0100200300400500600700123456789timeYvalue解：（1）选择预测模型一阶差分的环比折线图0.700.720.740.760.780.800.820.841234567（2）用“三和法”估计参数，建立预测模型（3）预测2002年的销售量五、龚珀兹曲线模型预测法Gompertzcurve龚珀兹曲线(Gompertzcurve)，是统计学家和数学家B.Gompertz首先提出用作控制人口增长率的一种数学模型。1.预测模型及其特征龚珀兹曲线预测模型为：龚珀兹曲线的特点初期增长缓慢，随后增长加快，当达到一定程度后，增长率逐渐减慢，最后达到饱和状态。因此，常常用龚珀兹曲线描述产品市场寿命周期的前半段，并进行预测。龚珀兹曲线预测模型的数量特征龚珀兹曲线0.0020.0040.0060.0080.00100.00120.0013579111315171921k=100,a=0.1,b=0.8龚珀兹曲线图0.0020.0040.0060.0080.00100.00120.001357911131517192