流函数势函数-第一章

ChenHaishanNIMNUIST第六节速度势函数和流函数速度势函数速度流函数二维流动的表示ChenHaishanNIMNUIST一、速度势函数①定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动0V否则，则称之为涡旋流动：0V如果在流体域内涡度为零，即:无旋流动；ChenHaishanNIMNUIST据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：0对于无旋流动，必定存在一个函数满足如：或tzyx,,,VgradV无旋流动，其速度矢总可以用函数的梯度来表示，把函数叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。tzyx,,,ChenHaishanNIMNUISTkwjviuVzwyvxu,,而引进了势函数后：②引入势函数的优点流速矢描述流体运动含有三个变量；需要给定三个变量刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。ChenHaishanNIMNUIST由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。V③用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻=常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数不同的等位势面等位势面族。tzyx,,,ChenHaishanNIMNUIST例1-6-1已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如图所示（其中，）的，请判断并在图中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B两处流速的大小。012ChenHaishanNIMNUIST④势函数的求解假如流体的散度为：根据势函数的定义有：其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。zwyvxuDD22222222zyxChenHaishanNIMNUIST求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。ChenHaishanNIMNUIST①定义及存在条件二、速度流函数0//,,,,,0yvxutyxvvtyxuuw考虑二维无辐散流动，即满足：0udyvdxvdyudx或其流线方程为：0V0V无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：ChenHaishanNIMNUIST0,,,,,,dytyxudxtyxvtyxdxvyu,kV根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：0udyvdxChenHaishanNIMNUIST积分以上的全微分形式，可以得到：=常数tyx,,上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数的等值线。将以上引进的函数称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。ChenHaishanNIMNUIST（2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线AB，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：②引入流函数的优点BAnBAdlVdlnVQ流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量dlldkndyjdxildABChenHaishanNIMNUIST引用流函数，并考虑：或表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。BAdxxdyyQABQdljdxidydlldkn/)(BAnBAdlVdlnVQxvyu,ChenHaishanNIMNUIST同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度由涡度的定义，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。yuxv2222yxChenHaishanNIMNUIST三、二维流动00yvxuDyuxvVVV一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：①无辐散涡旋流②无旋辐散流①②ChenHaishanNIMNUISTVVVVVV00VkVDyxyx22222222kVyxvxyu上式为大气动力学中广泛采用的形式。ChenHaishanNIMNUIST习题1-6-1已知二维流速场为：分别求势函数和流函数存在的条件。习题1-6-2请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。)()2(22yxbvyxaudycxvbyaxu①②课后习题ChenHaishanNIMNUIST习题1-6-3请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-4平面流动的流线方程为：；由流函数全微分；当取常值时，也可以得到试问两式是否等价？请说明理由？vdyudx//udyvdxdvdyudx//ChenHaishanNIMNUIST§6速度势函数和流函数（概念、理解）①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；③速度势函数、流函数表示二维流动。本节总结