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2014级趣味数学能力训练篇桌子上有3只杯子，杯口都向上，每次翻动2只，能否经过有限次的翻动，使得所有的杯子杯口全部朝下？桌子上有奇数只杯子，杯口都向上，每次翻动偶数只，能否经过有限次的翻动，使得所有的杯子杯口朝下？整数的奇偶性偶数——被2整除的数.用2n表示，其中n是整数。所有的偶数有：0,±2,±4,±6，…奇数——不能被2整除的数.用2n+1表示，其中n是整数。所有的奇数有：±1，±3，±5，…1、概念2、性质加上偶数不改变奇偶性；加上奇数改变奇偶性乘以偶数都得到偶数；乘以奇数不改变奇偶性若a±b为偶数，则a,b的奇偶性相同；若a±b为奇数，则a,b的奇偶性相反奇数个奇数之和（或差）是奇数；偶数个奇数之和（或差）是偶数。任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇数。反之，若n个数的积为奇数，则这n个数均为奇数若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。例题评析1、设a,b,c,d均为整数，且a+b+c+d=奇数,求证：a,b,c,d至少有一个奇数解：如果a,,b,c,d都不是奇数，则都是偶数。因此a+b+c+d=偶数，这与条件矛盾！因此其中至少有一个奇数。进一步可以知道，这4个数中只能有1个或者3个奇数。2、a,b,c,d均为整数，求证：a+b+c+d与a-b-c+d的奇偶性相同。分析：根据性质，如果两数之和为偶数，则两数奇偶性相同。因此把a+b+c+d与a-b-c+d相加即可获得思路。解：(a+b+c+d)+(a-b-c+d)=2(a+d)是一个偶数，因此结论成立。3、元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的良好祝愿。“无论人数是多少，用于交换的贺卡的张数总是偶数。”这句话正确吗？试说明你的理由。分析：每个同学给别人一张卡片，同时也得到别人的一张。因此每个人有2张卡片经手。设人数为n，则总的卡片数就是2n,是一个偶数。4、设a、b、c中有2个奇数，一个偶数，试说明(a+1)(b+2)(c+3)一定是偶数。分析：考虑(a+1)+(b+2)+(c+3)=（a+b+c）+6这是一个偶数，故a+1、b+2、c+3为3个偶数，或者2奇1偶，无论哪种情形，(a+1)(b+2)(c+3)都是偶数。5、设a、b是自然数,且满足关系式123456789=（11111+a）(11111-b),说明a-b是4的倍数。分析:首先知道a、b都是偶数(为什么？)（11111+a）(11111-b)=123454321+11111(a-b)-ab故ab=11111(a-b)-2468为4的倍数。6、黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到3，1993，2003，问原来的三个数能否是2，2，2？分析(2，2，2)→(3,2,2)→(…)对于(3,2,2)，是2偶1奇，如每次擦去奇数，则“偶+偶-1=奇”；如每次擦去1个偶数，则“奇+偶-1=偶”，即结果的3个数还是2偶1奇。而3，1993，2003是3个奇数，这不可能！7、设标有A、B、C、D、E、F、G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、F四盏灯开着，其余三盏灯关着。小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A到G。他这样拉了2010次开关后，那几盏灯是开着的？8、一个俱乐部里的成员只有2种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部里的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三回答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？分析：假设李四是老实人，则他说的话是真话。根据李四的说法，张三是老实人，因此这个俱乐部就是45人。另一方面，根据他们的坐法，老实人和骗子一个隔着一个坐，因此人数应该相等，这表明总人数是一个偶数，而45位一个奇数！因此假设不成立，因此李四说了谎，他是个骗子。9、你能找到三个整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例;如果找不到，请说明理由。