动点问题专项训练

专题（五）动态型问题专题五┃动态型问题解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．专题五┃动态型问题类型1与二次函数有关的点动问题例1【2015·徐州】如图Z5－1，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC＝AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD＝8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA＝________°；(2)求抛物线的函数表达式；(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？图Z5－190专题五┃动态型问题例题分层分析(1)利用直径所对的圆周角等于90°，即可得出答案；(2)利用(1)中的结论易得OB是AC的垂直平分线，易得点B，点C的坐标，由点O，点B的坐标易得OB所在直线的解析式，从而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；(3)利用(2)的结论易得点P的坐标，分类讨论：①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，易得OP所在直线的函数关系式，表示出Q点的纵坐标，得QE的长，表示出四边形POAE的面积；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，易得AP所在直线的解析式，从而求得Q点的纵坐标，得QE的长，表示出四边形POAE的面积，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令－38p2＋94p＋15＝16，解得p，得出结论．专题五┃动态型问题例1【2015·徐州】如图Z5－1，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC＝AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD＝8，抛物线经过O、E、A三点．(2)求抛物线的函数表达式；图Z5－1专题五┃动态型问题(2)连接OC，如图所示．∵由(1)知OB⊥AC，又AB＝BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC＝OA＝10.在Rt△OCD中，OC＝10，CD＝8，∴OD＝6，∴C(6，8)，B(8，4)．∴OB所在直线的函数表达式为y＝12x.又E点的横坐标为6，∴E点的纵坐标为3，即E(6，3)．∴抛物线过O(0，0)，E(6，3)，A(10，0)．设此抛物线的函数表达式为y＝ax(x－10)，把E点坐标代入，得3＝6a(6－10)，解得a＝－18.∴此抛物线的函数表达式为y＝－18x(x－10)，即y＝－18x2＋54x.专题五┃动态型问题例1【2015·徐州】如图Z5－1，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC＝AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD＝8，抛物线经过O、E、A三点．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？图Z5－1专题五┃动态型问题(3)设点Pp，－18p2＋54p.若点P在CD的左侧，延长OP交CD于点Q，连接AE，如图②.OP所在直线的函数表达式为y＝－18p＋54x，∴当x＝6时，y＝－34p＋152，即Q点的纵坐标为－34p＋152.∴QE＝－34p＋152－3＝－34p＋92.专题五┃动态型问题S四边形POAE＝S△OAE＋S△OPE＝S△OAE＋S△OQE－S△PQE＝12·OA·DE＋12·QE·Px＝12×10×3＋12·－34p＋92·p＝－38p2＋94p＋15.若点P在CD的右侧，延长AP交CD于点Q，连接AE.如图③.Pp，－18p2＋54p，A(10，0)，设AP所在直线的表达式为y＝kx＋b，把P和A的坐标代入，得10k＋b＝0，pk＋b＝－18p2＋54p，解得k＝－18p，b＝54p，专题五┃动态型问题∴AP所在直线的表达式为y＝－18px＋54p，∴当x＝6时，y＝－18p·6＋54p＝12p，即Q点的纵坐标为12p，∴QE＝12p－3，∴S四边形PAOE＝S△OAE＋S△APE＝S△OAE＋S△AQE－S△PQE＝12·OA·DE＋12·QE·DA－12·QE·(Px－6)＝12×10×3＋12·QE·(DA－Px＋6)专题五┃动态型问题＝15＋12·12p－3(10－p)＝－14p2＋4p＝－14(p－8)2＋16.∴当点P在CD的右侧时，四边形PAOE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令－38p2＋94p＋15＝16，解得p＝3±573，∴当点P在CD的左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个．综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．专题五┃动态型问题解题方法点析本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题，解决这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，然后数形结合解决问题．专题五┃动态型问题1．【2016·益阳】如图Z5－2，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．图Z5－2针对训练专题五┃动态型问题解：(1)∵抛物线顶点为A(3，1)，∴设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a(x－3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为：y＝－13x2＋233x.专题五┃动态型问题1．【2016·益阳】如图Z5－2，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；图Z5－2专题五┃动态型问题(2)证明：将y＝0代入y＝－13x2＋233x中，得B点坐标为：(23，0)，设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，将A(3，1)代入表达式y＝kx中，得k＝33，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝33x.∵BD∥AO，∴设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x＋b，将B(23，0)代入y＝33x＋b中，得b＝－2，专题五┃动态型问题∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x－2.由y＝33x－2，y＝－13x2＋233x得交点D的坐标为(－3，－3)，将x＝0代入y＝33x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得：OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝23＝OD.在△OAB与△OCD中，OA＝OC，AB＝CD，OB＝OD，∴△OAB≌△OCD.专题五┃动态型问题1．【2016·益阳】如图Z5－2，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．图Z5－2专题五┃动态型问题(3)点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，连接C′D，则C′D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．如图，过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，则PO∥DQ.∴△C′PO∽△C′DQ.∴PODQ＝C′OC′Q，即PO3＝25，∴PO＝235，∴点P的坐标为(－235，0)．专题五┃动态型问题2．如图Z5－3，已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的解析式；(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．图Z5－3专题五┃动态型问题解：(1)∵A(1，0)，C(0，3)在函数的图像上，∴0＝1＋b＋c，c＝3，∴b＝－4，即二次函数的解析式是y＝x2－4x＋3.专题五┃动态型问题2．如图Z5－3，已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；图Z5－3专题五┃动态型问题(2)令x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴B(3，0)，OB＝3.∴BC＝OB2＋OC2＝32＋32＝32.如图，当BC为底边时，作BC的垂直平分线，则P1(0，0)；当BC为腰时，分别以B，C为圆心，BC长为半径作圆，则P2(0，3＋32)，P3(0，3－32)，P4(0，－3)．专题五┃动态型问题2．如图Z5－3，已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．图Z5－3专题五┃动态型问题(3)设经过的时间为t秒，△MNB的面积S＝12MB·DN＝12(3－1－t)×2t＝2t－t2＝－(t－1)2＋1.∴当t＝1时，△MNB的面积最大，最大面积为1.其中M，N的坐标分别为M(2，0)，N(2，－2)或M(2，0)，N(2，2)．专题五┃动态型问题3．【2017·衢州】定义：如图Z5－4①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点坐标．(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．图Z5－4解：(1)勾股点的坐标为(0，1)．专题五┃动态型问题3．【2017·衢州】定义：如图Z5－4①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．图Z5－4专题五┃动态型问题(2)抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过原点(0，0)，即A为(0，0)．如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为(1，3)，∴AG＝1，PG＝3.∴PA＝2，tan∠PAB＝3，∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝PAcos60°＝4，∴点B坐标为(4，0)．设y＝ax(x－4)，当x＝1时，y＝3，解得a＝－33.∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋433x.专题五┃动态型问题3．【2017·衢州】定义：如图Z5－4①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B