2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)1.1集合的概念(解析版)

1.1集合的概念思维导图运用一集合的判断【例1】下面几组对象可以构成集合的是A．视力较差的同学B．2018年的中国富豪C．充分接近2的实数的全体D．大于–2小于2的所有非负奇数【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D选项，大于2小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D.【触类旁通】1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D选项，到定点的距离等于定长的点为圆，可以组成集合.故本小题选D.2.考察下列每组对象，能组成一个集合的是()①油高高一年级聪明的学生②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③【答案】C【答案】对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；【思路总结】躬行实践对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于④，“√3的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．故选：C．运用二元素与集合的关系【例2】下列关系中，正确的个数为()①5R；②13Q；③0{0}；④0N；⑤Q；⑥3Z．A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R，故①正确；在②中，13∈𝑄，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N，故④错误；在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正确．故选：D．【触类旁通】1.（2019·浙江高一期末）已知集合是M{x|xN}，则()A．0MB．πMC．2MD．1M【答案】A【解析】集合0,1,2,3,M0M本题正确选项：A2．（2018·河北武邑中学高一月考）已知23,AxxxR，14a，22b，则()A．aA且bAB．aA且bAC．aA且bAD．aA且bA【答案】B【解析】∵A={x|x≤23，x∈R}，a=14，b=22,由1423，可得a∉A,2223，可得b∈A,故选：B．运用三元素的互异性【例3】（1）若{1a，222}aa，则实数a的值为。（2）（2018·江苏省南通中学高一期中）已知2{1,0,}xx，则实数x的值为。【答案】（1）2（2）-1【解析】（1）a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；（2）21,0,xx，21x，20x，2xx，由21x得1x，由20x，得0x，由2xx得0x或1x．综上1x，或0x．当0x时，集合为1,0,0不成立．当1x时，集合为1,0,1不成立．当1x时，集合为1,0,1，满足条件．故1x．【触类旁通】1．设集合A={2，4，5}，B={2，4，6}，若x∈A，且xB，则x的值为。【答案】5【解析】∵x∈{2，4，5}，∴x=2或x=4或x=5．∵x∉{2，4，6}，∴x≠2且x≠4且x≠6，∴x=5．2．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2018a的值为________。【答案】1【解析】①若a＋2＝1，即a＝－1，则(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合元素的互异性.②若(a＋1)2＝1即a＝－2或a＝0.当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合元素的互异性；当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，满足题意.【思路总结】当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。③若a2＋3a＋3＝1，即a＝－1或－2，由①，②可知均不满足集合元素的互异性.综上知实数a的取值集合为{0}，则2018a的值为1.3．（2018·湖北沙市中学高一期末）已知集合2,4,6A,且当aA时，6aA，则a为。【答案】2或4【解析】集合A中含有3个元素2，4，6，且当aA时，6aA，当2aA时，64aA，则2a当4aA时，62aA，则4a当6aA时，60aA综上所述，故24a或运用四集合的表示方法【例4-1】用列举法表示下列集合（1）{*|xNx是15的约数}（2）2{|280}xxx（3）{|xx为不大于10的正偶数}（4）51aa，}aN（5）16{|}9AxNNx（6）{(,)|{1xyx，2}，{1y，2}}．【答案】见解析【解析】（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}（5）A＝{x∈N|169−𝑥∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}【例4-2】用描述法表示下列集合：（1）方程290x的所有实数解组成的集合；（2）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；（3）不等式453x的自然数解组成的集合．【答案】见解析【解析】（1）列举法：{3，﹣3}描述法：{x|x2﹣9＝0}（2）列举法：{（1，4）}描述法：{（x，y）|{𝑦=𝑥+3𝑦=−2𝑥+6}（3）列举法：{0，1}描述法：{x∈N|x＜2}【例4-3】．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x＝|x|，x5且x∈Z}；(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N＋，y∈N＋}；(5){－3，－1,1,3,5}．【答案】见解析【解析】(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x＝|x|，∴x≥0.又∵x∈Z且x5，∴x＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．【触类旁通】1.集合{x∈N*|x–31}用列举法可表示为________。【答案】{1，2，3}【解析】由31x解得4x，由于xN，所以123x，故集合为1,2,3，故2.已知集合{|2,12,}AyyxxyZ，用列举法表示集合A______．【答案】{4,3,2,1,0，1，2}【解析】因为12x，422x，即42y，【思路总结】又yZ，4y，3y，2y，1y，0y，1y，2y故答案为：{4,3,2,1,0，1，2}3.用描述法表示下列集合：（1）偶数集；（2）正奇数集；（3）{1，4，7，10，13}；（4）{2，4，6，8，10}；（5）方程组0322xyxy的解；（6）函数22yxx的所有函数值；（7）函数22yxx图象上所有的点．【答案】见解析（1）偶数的集合表示为：{x|x＝2k，k∈Z}．（2）正奇数的集合表示为：{x|x＝2n+1，n∈N*}．（3）{x∈N|x＝3n﹣2，n∈N*}．（4）{x∈N|﹣10≤x≤﹣2，且x是偶数}．（5）{（x，y）|{𝑥+𝑦=03𝑥+2𝑦=2}；（6）{y|y＝x2+2x}；（7）{（x，y）|y＝x2+2x}．4.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.（5）方程组2314328xyxy的解集；（6）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；（7）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（8）所有的正方形组成的集合．【答案】见解析【答案】(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z}(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z});(3)∵x=|x|,∴x≥0.又∵x∈Z且x5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)（5）解方程组2314328xyxy得42xy，故解集为{(4，–2)}．（6）集合的代表元素是数，用描述法可表示为{|32,1000}xxkkNx且．（7）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x0且y0}．（8）集合用描述法可表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．运用五集合与元素综合运用【例5】已知集合1,2,3A，集合,,BzzxyxAyA，则集合B中元素的个数为。（2）已知集合2=40Axxxk中只有一个元素，则实数k的值为______【答案】（1）5（2）4【解析】（1）1,2,3A，,,BzzxyxAyA，1,2,3x，1,2,3y当1x时，0,1,2xy当2x时，1,0,1xy当3x时，2,1,0xy即2,1,0,1,2xy，即2,1,0,1,2B共有5个元素（2）2=40Axxxk集合中只有一个元素，一元二次方程240xxk有两个相等的根，=1640k即4k故答案为4【触类旁通】1.集合𝐴={1,2，3，4，5}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑥∈𝐴，𝑦∈𝐴，𝑦𝑥∈𝐴}，则集合B所含元素个数为()A．3B．6C．8D．10【答案】D【解析】∵集合𝐴={1,2，3，4，5}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑥∈𝐴，𝑦∈𝐴，𝑦𝑥∈𝐴}，∴𝐵={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}，∴集合B所含元素个数为10．故选：D．2．（2019·上海高考模拟）若集合2{|(2)20,AxxaxaxZ}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________【答案】12(,]23【解析】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120311aaa＜，解得12＜a23故答案为：（12，23]3已知a∈R，不等式31xxa的解集为P，且-2∈P，则a的取值范围是______．【答案】[-3，2）【解析】根据题意，等式2312a的解集为P，且-2∈P，则有2312a，即52a≤-1，变形可得：（a+3）（a-2）≤0且a-2≠0，解可得：-3≤a＜2，即a的取值范围为[-3，2）；故答案为：[-3，2）．4．设数集𝐴由实数构成，且满足：若𝑥∈𝐴（𝑥≠1且𝑥≠0），则11−𝑥∈𝐴.（1）若2∈𝐴，试证明�