土木工程力学 第5章

第5章构件的应力与强度第1节应力、应变、胡克定律第2节材料在拉压时的力学性能第3节强度失效判别.安全储备和强度条件第4节平面图形的几何性质第5节轴向拉压时的截面应力和强度计算第6节连接件的强度计算第7节梁弯曲时的应力与强度第8节组合变形杆件的强度计算下一页上一页返回mmFP2FP1mmFP2FP1K点F微内力A微面积第1节应力、应变、胡克定律一、应力p)0(AAFp应力设在受力构件的m—m截面上，围绕K点取微面积A，并设作用在该面积上的微内力F，当微面积趋于无穷小时，则F与A的比值趋于一个极限值，这个极限值称为截面上一点的应力。应力实际上是内力在截面上某一点处的集度，用p表示，即KAFAFpAddlim0下一页上一页返回内力是构件内部某截面上相连两部分之间的相互作用力，是该截面上连续分布内力的合成结果，构件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度有关。截面上内力分布的密集程度简称集度。mmFP2FP1mmFP2FP1K点F微内力A微面积一、应力p应力K应力的单位为Pa（帕），1Pa=1N/m2。兆帕（MPa）和吉帕（GPa），其关系为1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。应力p的方向即F的方向。通常将应力分解成垂直于截面的法向分量和与截面平行的切向分量。称为K点处的正应力，称为K点处的切应力。正应力切应力下一页上一页返回二、应变相邻棱边的夹角一般也发生变化。微体相邻边所夹直角的改变量，称为切应变，并用表示。称为K点沿x轴方向的正应变，也称线应变，简称应变，并用表示。围绕构件内K点取一微小的正六面体，设其沿x轴方向的棱边长为x，变形后边长为x+u，u称为x的线变形。比值xu正应变和切应变是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。的单位通常使用的是rad（弧度）。xyzxu下一页上一页返回三、胡克定律=E（5-1）实验表明，当正应力小于一定数值时，即在线弹性范围内加载时，正应力与其相应的正应变成正比。引入比例常数E，则可得。对于确定的材料，应力与应变之间存在一定的关系。上式称为胡克定律。式中的比例系数E称为弹性模量。它是材料的力学性质之一，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量E为常数。E的数值随材料而异，由试验测定。弹性模量E的单位与应力的单位相同。ux下一页上一页返回三、胡克定律=E（5-1）上式称为剪切胡克定律。式中的比例系数G称为切变模量。它是材料的又一力学性质。对同一材料，切变模量G为常数。G的单位与应力的单位相同。胡克定律是工程力学中非常重要的基本原理，它揭示了力和变形的内在对应关系。在工程中通常先测量到是构件的变形及应变，再由胡克定律计算出构件的应力的大小和分布等情况。实验还表明，当切应力在一定范围内，切应力与其相应的切应变成正比。''=G（5-2）下一页上一页返回受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，如图，且与截面上是否存在正应力无关，即=′（5-3）四、切应力互等定理τ'下一页上一页返回一、低碳钢在拉伸时的力学性能为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标推制成。中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0(称为标距)，且l0=10d0或l0=5d0的标准试样。..l00PAF0ll（5-5）（5-6）第2节材料在拉压时的力学性能下一页上一页返回工程中使用的材料种类很多，通常根据试件在拉断时塑性变形的大小而分为塑性材料和脆性材料两类。塑性材料拉断时具有较大的塑性变形，如低碳钢、合金钢、铜等；脆性材料拉断时塑性变形很小，如铸铁、混凝土、石料等。这两类材料的力学性能具有显著的差异。低碳钢是典型的塑性材料，而铸铁是典型的脆性材料，因此它们的试验及其所反映出的力学性能对这两类材料具有代表性。第2节材料在拉压时的力学性能下一页上一页返回一、低碳钢在拉伸时的力学性能为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标推制成。对圆形截面，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0(称为标距)，且l0=10d0或l0=5d0。对矩形截面，中部工作段的截面面积A，且或的标准试样。..l0003.11Al0065.5Al..l0下一页上一页返回1.拉伸图与应力应变图将低碳钢的标准试件夹在万能试验机上，开动试验机后，试件受到由零开始缓慢增加的拉力F作用，同时试件逐渐伸长，直至拉断为止。以拉力F为纵坐标，以纵向伸长量l为横坐标，将F和l的关系按一定的比例绘制的曲线，称为拉伸图（或F-l图）。一般试验机上都有自动绘图装置，试件拉伸过程中能自动绘出拉伸图。为了消除试件尺寸的影响，反映材料本身的性质，将纵坐标除以试件横截面的原始面积A，得到应力；将横坐标Δl除以原标距l0，得到线应变，这样绘制的曲线称为应力-应变图（-图）。下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段1）线弹性阶段P比例极限2）屈服阶段s屈服极限是衡量材料强度的重要指标3）硬化阶段b强度极限4）颈缩破坏阶段σεPesbe弹性极限下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段低碳钢的应力应变图反映出试验过程可分为四个阶段，各阶段有其不同的力学性能指标。（1）弹性阶段：在试件的应力不超过b点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即缓慢卸除荷载时，试件的变形将全部消失。弹性阶段最高点b相对应的应力值e称为材料的弹性极限。在弹性阶段内，初始Oa一段是直线，它表明应力与应变成正比，材料服从虎克定律。过a点后，应力应变图开始微弯，表示应力与应变不再成正比。应力与应变成正比关系的最高点a所对应的应力值p称为材料的比例极限。建筑中最常用的Q235钢，比例极限约为200MPa。tanE（5-4）下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段（2）屈服阶段：当应力超过b点所对应的应力后，应变增加很快，应力仅在很小范围内波动，在-图上呈现出接近于水平的“锯齿”形段。此阶段应力基本不变.应变显著增加，称为屈服阶段（也称流动阶段）。屈服阶段中的最低应力称为屈服强度，用s表示。Q235钢的屈服强度约为240MPa。材料到达屈服阶段时，如果试件表面光滑，则在试件表面上可以看到大约与试件轴线成的斜裂纹线，这种斜裂纹线称为滑移线。这是由于在面上存在最大切应力，造成材料内部晶粒之间相互滑移所致。下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段（3）强化阶段：屈服阶段以后，材料重新获得抵抗变形的能力，体现在-图中曲线开始向上凸，它表明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力称为强度极限，以b表示。Q235钢的强度极限约为400MPa。下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段（4）颈缩阶段：当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象。由于颈缩处截面面积迅速减小，试件继续变形所需的拉力F也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了de段形状。至e点试件被拉断。上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有两个有关强度性质的指标，即屈服极限s和强度极限b，s是衡量材料强度的一个重要指标，当应力达到s时，杆件产生显著的塑性变形，使得杆件无法正常使用；b是衡量材料强度的另一个重要指标，当应力达到b时，杆件出现颈缩并很快被拉断。下一页上一页返回3.塑性指标试样拉断后，由于弹性变形自动消失，只保留了塑性变形，试样标距长度由原来的l0变为l1。用百分比表示比值（5-5）称为伸长率。试样的塑性变形(l1-l0)越大，也越大。因此，伸长率是衡量材料塑性的指标。工程中将伸长率≥5%的材料称为塑性材料，如低碳钢Q235的伸长率≈20%～30%，是典型的塑性材料。而把＜5%的材料称为脆性材料，如铸铁的＝0.5%～0.6%，属于典型的脆性材料。%100001lll..l0下一页上一页返回3.塑性指标（5-6）原始横截面面积为A0的试样，拉断后颈缩处的最小截面面积变为A1，用百分比表示的比值称为断面收缩率。低碳钢Q235断面收缩率的≈60%。也是衡量材料塑性的指标。%100010AAA..l0下一页上一页返回二、铸铁在拉伸时的力学性能灰铸铁拉伸时的-曲线。它没有明显的直线部分。在拉应力较低时就被拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前应变很小，延伸率也很小。灰铸铁是典型的脆性材料。铸铁拉断时的应力为强度极限。因为没有屈服现象，强度极限b是衡量其强度的唯一指标。由于铸铁等脆性材料的抗拉强度很低，因此不宜用于制作受拉构件。/%O0.150.300.45125100755025灰铸铁σ-ε曲线/MPa下一页上一页返回三、材料在压缩时的力学性能金属的压缩试样常制成短的圆柱，圆柱的高度约为直径的1.5～3倍。/%O510152025500400300200100低碳钢σ-ε曲线/MPapy拉伸压缩FPFP低碳钢压缩的-曲线。试验表明，低碳钢等塑性材料压缩时的弹性模量E和屈服应力s都与拉伸时基本相同。屈服阶段以后，试样越压越扁。下一页上一页返回FP三、材料在压缩时的力学性能/%O24681012600500400300200100灰铸铁-曲线/MPa拉伸压缩FP铸铁压缩时的-曲线类似于拉伸，但压缩时的强度极限比拉伸时的要高4～5倍，断口与轴线大约成45～50角。其他脆性材料，如混凝土、石料等，压缩强度极限也远高于拉伸强度极限。因此，脆性材料宜用来制作承压构件。下一页上一页返回第3节强度失效判别.安全储备和强度条件一、极限应力和安全储备通过实验我们知道，一承受简单拉伸和压缩的杆件。在截面上的应力到达某一数值时就会发生断裂和过大的变形，这在工程上是不容许的。为了保证杆件的安全性，适用性，耐久性。必须控制最大的应力，使其小于等于某个容许值。实验结果表明，如果应力达到材料的强度极限，构件就会破坏或称强度失效；而到达屈服点，就会产生较大的塑性变形；为了保证结构的安全和耐久，结构中的实际应力必须低于这些应力值和s。但在结构的设计中有很多的因素是难以估计的。比如：下一页上一页返回（1）在荷载方面，对处于复杂应力状态的结构，我们无法全部的进行精确的计算；（2）在制造工艺方面，难以确保同一种材料具有完全相同的性质；（3）在内力计算方面，土木工程力学的理论是建筑在一系列的基本假定之上的，与实际的结果很难精确的完全的一致，等等。所以，在-图中的特性点是不能直接作为最大应力的界限值。工程中，称材料到达危险状态时的应力值为极限应力，记作0。为了保证构件的正常使用，即各构件不发生断裂以及不产生过大的变形，就要求工作应力要小于极限应力0。下一页上一页返回通过材料的力学试验,我们已经知道脆性材料没有屈服阶段，并且从加载到破坏变形很小，因此可用强度极限b作为极限应力0，即0=b。而塑性材料在其屈服阶段将产生较大的塑性变形，为了保证构件的正常使用，应取它的屈服点s作为材料的极限应力0，亦即0=s。对于屈服阶段不十分明确而塑性变形又较大的材料，我们取名义屈服应力0.2作为材料的极限应力0。名义屈服应力是指材料产生0.2％的塑性变形所对应的应力值。下一页上一页返回为了保证安全，我们给材料以必要的强度储备，将0除以一个大于1的安全因数n，得到材料的许用应力[]，即[]=0/n（n1）对于脆性材料0=b对于塑性材料0=s或0=0.2在常温静载下，塑性材料的安全因数一般取1.4~1.8，脆性材料的安全因数取2～3下一页上一页返回二、强度条件为了保证构件正常、安全使用，必须使工作应力满足下列不等式，即：≤[σ]（5-7）该不等式称为构件的强度条件。式中，是工作应力，[]是许用应力。在该强度条件下，可进行以下三方面的计算：1）强度校核即≤[]。2）进行截面设计。