1994考研数学一真题及答案详解

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)011limcot()sinxxxx_____________.(2)曲面23zzexy在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设sinxxuey,则2uxy在点1(2,)处的值为_____________.(4)设区域D为222xyR,则2222()Dxydxdyab_____________.(5)已知11(1,2,3),(1,,)23,设TA,其中T是的转置,则nA_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)设4222sincos1xMxdxx,3422(sincos)Nxxdx,23422(sincos)Pxxxdx,则()(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2)二元函数(,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)fxy在该点连续的()(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nna收敛,则级数21||(1)nnnan()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)20tan(1cos)lim2ln(12)(1)xxaxbxcxde,其中220ac,则必有()(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5)已知向量组1234、、、线性无关,则向量组()(A)12、23、34、41线性无关(B)12、23、34、41线性无关(C)12、23、34、41线性无关(D)12、23、34、41线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),1cos()cos,2txtyttuduu求dydx、22dydx在2t的值.(2)将函数111()lnarctan412xfxxxx展开成x的幂级数.(3)求sin22sindxxx.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydzzdxdyxyz,其中S是由曲面222xyR及两平面,zR(0)zRR所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()fx具有二阶连续导数,(0)0,(0)1ff,且2[()()][()]0xyxyfxydxfxxydy为一全微分方程,求()fx及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()fx在点0x的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0xfxx,证明级数11()nfn绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()为12240,0,xxxx又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)kk.(1)求线性方程组()的基础解系；(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵,*A是A的伴随矩阵,TA是A的转置矩阵,当*TAA时,证明||0A.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)已知A、B两个事件满足条件()()PABPAB,且()PAp,则()PB__________.(2)设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为X01P1212则随机变量max,ZXY的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)XY服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布2(1,3)N和2(0,4)N,X与Y的相关系数12XY,设32XYZ,(1)求Z的数学期望()EZ和方差()DZ；(2)求X与Z的相关系数XZ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】16【解析】原式变形后为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos(sin)limsinxxxxxx300sinlimcoslimxxxxxx2001cossin1limlim366xxxxxx.(由重要极限0sinlim1xxx)(2)【答案】240xy【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取nl,又平面过已知点(1,2,0)M.已知平面的法向量(,,)ABC和过已知点000(,,)xyz可唯一确定这个平面：000()()()0AxxByyCzz.因点(1,2,0)在曲面(,,)0Fxyz上.曲面方程(,,)23zFxyzzexy.曲面在该点的法向量(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0zFFFnyxexyz,故切平面方程为2(1)(2)0xy,即240xy.(3)【答案】22e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求uy,再求uxy.2cosxuxxeyyy,2221112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexxyyxxyx2222((1)cos)0xxexxe.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)uxyvxy都在点(,)xy具有对x及对y的偏导数,函数(,)zfuv在对应点(,)uv具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))zfxyxy在点(,)xy的两个偏导数存在,且有12zzuzvuvffxuxvxxx；12zzuzvuvffyuyvyyy.(4)【答案】42211()4Rab【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式2222222322220000cossincossinRRdrrdrdrdrabab.注意：222200cossindd,则原式4422221111144RRabab.(5)【答案】111123232133312n【解析】由矩阵乘法有结合律,注意1111,,23233T是一个数,而11123111221,,2123333312TA,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()nTTTTTTTTA11111232332133312nTn.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M,且由定积分的性质,如果在区间,ab上,被积函数()0fx,则()0()bafxdxab.所以4202cos0Nxdx,4202cos0PxdxN.因而PMN,应选(D).(2)【答案】(D)【解析】(,)fxy在点00(,)xy连续不能保证(,)fxy在点00(,)xy存在偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy.反之,(,)fxy在点00(,)xy存在这两个偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy也不能保证(,)fxy在点00(,)xy连续,因此应选(D).二元函数(,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数存在和在点00(,)xy处连续并没有相关性.(3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因22222(1)||111112222nnnnaaannn,(第一个不等式是由2210,0,()2ababab得到的.)又21nna收敛,2112nn收敛,(此为p级数：11pnn当1p时收敛；当1p时发散.)所以2211122nnan收敛,由比较判别法,得21(1)||nnnan收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】因为22211cos(),1()2xxxoxexox,故tan(1cos)(0)axbxaxa,2ln(12)(1)2(0)xcxdecxc,因此,原式左边0lim222xaxacxc原式右边,4ac.当0,0ac时,极限为0；当0,0ac时,极限为,均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim.()xlx（1）若0,l称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；（2）若1,l称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；（3）若0,l称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.2.无穷小量的性质：当0xx时,(),()xx为无穷小,则()()()()(())xxxxox.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.(A)：由于122334410,所以(A)线性相关.(B)：由于122334410,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由的系数构成的行列式,即100111002001100011,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】12,,,s线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)iis可以由111,,,,iis线性表出.12,,,s线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)iis均不能由111,,,,iis线性表出.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dydydtdydxdtdtdxdtdx222221cos2sincos22(0),2sintttttttytttxtt同理2()12sinxtxxtyyxtt,代入参数值2t,则22xty,212xxty.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数(