极限的运算法则(1)

第四节极限运算法则一、极限运算法则定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设证（略）推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2注意：”“)1(0xx极限过程为,(0xx或,0xx,x,x).x例1：求)123(lim21xxx解1lim2lim3lim1121xxxxx)123(lim21xxx1lim2lim3121xxxx2123二、计算函数极限举例例2求21lim22xxx解43)2(lim)1(lim21lim22222xxxxxxx结论1对初等函数求极限时，能代尽量代例3求221lim2xxx解222lim(1)0lim(2)0xxxx221lim2xxx0A分子极限不为0，分母为无穷小量，称之为型。0A结论2），极限为，但并没有到达型（分母为趋于000A例4求下列函数的极限2221(1)lim31xxxx2451(2)lim31xxxx32221(3)lim51xxxxx分析:(1)(2)(3)分子分母都是多项式，且都是无穷大量，属于型未定式。型未定式可用分子分母同除以未知量中的最高次幂。22332351151(3)limlim0112+12xxxxxxxxxxx解2222211211(1)limlim13133xxxxxxxx2244345151(2)limlim011313xxxxxxxxx32221lim51xxxxx32221(3)lim51xxxxx注意：为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当以自然数n代替x时也有同样的结论!由具体到一般：用4个字概况这公式：抓大放小结论3练习).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.22143lim65xxxxx例5求2211143(1)(3)limlim65(1)(5)31lim52xxxxxxxxxxxxx解因式分解，消去零因式思考题：已知232lim4,3xxxkx求k的值分子分母都是多项式，且当分子分母都是无穷小量，不能用商的极限的运算法则。分析：1x型未定式00方法:先因式分解，再约分消去“零”因式。3k,03232k结论4型未定式对于00例6求下列函数的极限312(1)lim3xxx分析:3(12)(12)1=lim(3)(12)xxxxx()原式33lim(3)(12)xxxx312lim412xx解：4213(2)lim22xxx型未定式含根式的00对于含有根式的0/0型，没有相同的零因子，创造条件也要整出一个相同的“零”因子出来创造条件方法：根式有理化2231(1)lim(11)31(2)lim()11xxxxxx4(213)(213)(22)(2)=lim(22)(22)(213)xxxxxxx原式4(2x8)(22)22lim3(x4)(213)xxx例7求下列函数的极限))((型未定式小结：00首先分子、分母有理化,再约分4213(2)lim22xxx带根式的型，222222(11)(11)(1)=lim11xxxxxxx原式222lim011xxx2312=lim1xxxx(2)原式2211(1)(2)2limlim1(1)(1)1xxxxxxxxxx2231(1)lim(11)31(2)lim()11xxxxxx结论5对于0/0型和型先做（2）通过根式有理化和通分的方法创造条件整出“0”因子，然后再约分。练习求极限xxx11lim)1(30＋.42lim)2(22xxx计算.214121lim42lim)2(222xxxxx.11lim7.431xxexx计算Solution.txxxx1211lim43111lim341ttt1)1)(1(lim221ttttt.34练习.lim333axaxax求解:)()(lim3233232aaxxaxaxaxax．0)()(lim3233232aaxxaxax原式.lim8.xxxxexx计算Solution..limxxxxxxxxxxxxlim.21.lim9.xxxxnnnnnex计算Solution.xxxxnnnnnlim0,1x0,1x0,0x.,,22lim10.222baxxbaxxexx求设Solution.,024,ba依题意.24ab即224lim2lim222222xxaaxxxxbaxxxx则)1)(2()2()2)(2(lim2xxxaxxx12lim2xaxx34a2,2a.8b练习.,2)12(lim2babaxxxx、求＋＋设解1112lim2xxbxaxxx左边121lim2xbxbaxax商的极限存在，必须01a2ba，解得1a3b，..复合函数的极限二定理2：,)(lim),()1(00uxgxguxx设,)(lim),()2(0Aufufyuu,)(,)3(00uxgx的某一去心邻域在).(lim)]([lim00ufAxgfuuxx则注：.)(lim)]([lim:00)(Aufxgfuuxguxx令应用过程为条件（3）的必要性：等号右边没考察u=u0等号左边也不考察u=u0如果条件（3）不成立，则左边考察的情况是u=u0，右边是u不等于u0.)(lim)]([lim)]([)(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx时的极限也存在，且当，则复合函数又，有定义在点，而函数即，时的极限存在且等于当运算法则）设函数定理（复合函数的极限)]([lim0xfxx)(limufau)(xu令)(lim0xaxx意义：例8.lim333axaxax求解:)()(lim3233232aaxxaxaxaxax．0)()(lim3233232aaxxaxax原式三、小结思考1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3.复合函数的极限运算法则思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？)(xf)(xg)()(xgxf思考题解答没有极限．假设有极限，)()(xgxf)(xf有极限，由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg必有极限，与已知矛盾故假设错误．,2512515111nnnF已知思考：.215lim1nnnFF证明Proof.22111251251251251limlimnnnnnnnnFF,251515125151511lim11nnn,15151而.215512lim1nnnFF