八年级数学苏科版下册 第九章 能力训练(可编辑)

18年级能力训练31、两个大小不同的等腰直角三角形三角板按图2所示的方式放置。图3是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC.（1）请找出图3中的全等三角形，并给予证明；（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE.（1）图3中，△ABE≌△ACD（SAS）。证明略。（2）由△ABE≌△ACD，可知∠ACD＝∠ABE＝45°，又∠ACB＝45°，所以∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，DC⊥BE.2、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE＝x．操作：在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．（1）①当0＜x≤1时，FG＝EF＝x≤1＝AB（如图1），ABCDEABCD备用图2∴S＝12x2（0＜x≤1）；②当1＜x≤1.5时，FG＝EF＝x＞1＝AB（如图2），设EG与AD相交于点M，FG与AD相交于点N，则MN＝GN＝x－1，S＝12(x－1＋x)×1＝x－12（1＜x≤1.5）；③当1.5＜x≤2时（如图3），设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，MN＝GN＝x－1，DN＝CF＝BF－BC＝2x－3，MD＝MN－DN＝(x－1)－(2x－3)＝2－xS＝12(2－x＋3－x)×1＝－x＋52（1.5＜x≤2）④当2＜x＜3时（如图4），设EG与CD相交于点M，CM＝CE＝3－x，∴S＝12(3－x)2＝12x2－3x＋92（2＜x＜3）（2）存在，其最大值为1．3、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．（'B）ABCFE'A′D3(第25题)4、已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．(1)如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．求证：CE+CF=AB；(2)如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）(1)证明：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC=CD=DA．∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC=∠ACD=∠B=60°．∵∠EAF=60°，∴∠BAC＝∠EAF=60°,∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF∴△BAE≌△CAF，…∴BE＝CF，∴CE+CF=CB=AB．(2)ABCECF．CDBEF图1ABCDEF图2ACBEF图1DA45、如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1)求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．(3)当BE︰EC=时，DE=DG．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°．∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=FDCADF212121(∠ADF+∠FDC)=45°．(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC∴BF∥DE．②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根据勾股定理得：222)3(3)6(xx解得x=2，即线段AG的长为2．(3)2ABCDEFG图1CDABFGE图2CDABFGE图256GBCEF图12131456、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．解：⑴因为直线BF垂直于CE于点F,所以∠CFB=90°，所以∠ECB+∠CBF=90°.又因为∠ACE+∠ECB=90°，所以∠ACE=∠CBF.因为AC=BC,∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.又因为点D是AB的中点，所以∠DCB=45°.因为∠ACE=∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.(2)BE=CM.证明：∵∠ACB=90°,∴∠ACH+∠BCF=90°.∵CH⊥AM，即∠CHA=90°,∴∠ACH+∠CAH=90°,∴∠BCF=∠CAH.∵CD为等腰直角三角形斜边上的中线,∴CD=AD.∴∠ACD=45°.△CAM与△BCE中,BC=CA,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,∴△CAM≌△BCE,∴BE=CM.7、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE(3)如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO(AAS)第24题图6得CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C(－1，－1)（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G通过证△ACG≌△ABD(ASA)得CG=AD=CD∠ADB=∠G由∠DCE=∠GCE=45°可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G∴∠ADB=∠CDE8、如图1，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α（0°＜α＜90°）．（1）求证：∠EAP＝∠EPA；（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．解：（1）在ΔABC和ΔAEP中，∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，∴∠ACB=∠APE，在ΔABC中，AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠EPA=∠EAP；（2）答：□APCD是矩形，∵四边形APCD是平行四边形，∴AC=2EA，PD=2EP，∵由（1）知∠EPA=∠EAP，∴EA=EP，则AC=PD，∴□APCD是矩形；（3）答：EM=EN，∵EA=EP，∴∠EPA=90°-α，∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-α）=90°+α，由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，∴FP=FB，∴∠FPB=∠ABC=α，∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α，∴∠EAM=∠EPN，∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，∴∠AEP=∠MEN，∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，∴ΔEAM≌ΔEPN，∴EM=EN。CBADPE图1CBADPE图2NMNF79、如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当CE1CBn时，求ABCDDEFGSS正方形正方形的值．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG；（2）如图：；（3）四边形CEFK为平行四边形。证明：设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形；（4）∵，∴设CE=x，CB=nx，∴CD=nx，∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，∵BC2=n2x2，∴==。8BCNMADBCNMAD“魔方格学习社区”的练习类栏目包括：天天练习、弱项分析、错题本、竞技场和电子作业等等。在这里，你可以在线做题，系统直接出分，告诉你知识掌握的薄弱点，真正做到第一时间的查漏补缺，还等什么，马上去感受一下吧。©2014魔方格版权所有最后访问时间：2014-05-2709:23:1710、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．图1图2图3（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，在△ADN和△ABE中∵AD＝AB∠D＝∠ABEDN＝BE，△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵在△EAM和△NAM中AE＝AN∠EAM＝∠NAMAM＝AM，∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，∵ME=BM+BE=BM+DN，∴BM+DN=MN；（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN，理由如下：延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，在△ADN和△ABE中，∵AD＝AB∠D＝∠ABEDN＝BEMBCNAD9，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵在△EAM和△NAM中AE＝AN∠EAM＝∠NAMAM＝AM，∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，∵ME=BM+BE=BM+DN，∴BM+DN=MN，故答案为：BM+DN=MN；（3）DN-BM=MN，理由如下：如图3，在DC上截取DE=BM，连接A