线性代数复习资料

第一章一.选择题（1）设行列式D1=22221111acbaacbaacba，D2=222111cbacbacba，则D1=（）A．0B．D2C．2D2D．3D2（2）设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为（）A.－15B.－6C.6D.15（3）已知333231232221131211aaaaaaaaa=3，那么333231232221131211222222aaaaaaaaa=（）A．－24B．－12C．－6D．12二.填空题1.排列341265的逆序数是__________；排列513264的逆序数是（）。2.四阶行列式中，项14432231aaaa的符号是__________；项42342311aaaa的符号是__________；三.计算题1.4321032131001011，2.3315112043512131，3.设D=3142313150111253,D的（i，j）元的代数余子式记作jiA,，求11A12A13A14A。4.设D=3351110243152113,D的（i，j）元的代数余子式记作jiA,，求331A232A233A34A。第二章一.选择题1、设A为n阶方阵，则*AA（）a、1；b、A；c、2A；d、nA。2、设n阶方阵CBA,,满足关系式：EABC，则必有（）a、EACB；b、ECBA；c、EBAC；d、EBCA。3、设A为方阵，且有OA3则1)(AE()a、2AAE；b、2AAE；c、2AAE；d、2AAE。4、设A、B都是n阶方阵，E是n阶单位阵，下列命题正确的是（）A.AB=BAB.若AB=AC，且A0时，有B=CC.E-A2=（E-A）（E+A）D.(AB)T=ATBT5、下列命题正确的是（）A.矩阵的加法运算满足交换律和结合律B.矩阵的乘法运算不满足分配律和结合律C.若A为n阶方阵，则AkAkD.若AB=0，则A=0或B=0二.填空题1、A为三阶方阵，且｜A｜＝3，则｜3A｜＝_____，1A＝_____；2、设A为3阶方阵，且21A，则*AA231_____；3、设A为3阶方阵，已知EAA3*，则A_____；4、410143110412（）；310133610452（）。三、证明题1、设A是n阶方阵，且AA2，EA，试证明0A。2、设TEA,其中E为n阶单位阵，为n维非零列向量，证明（1）AA2的充要条件是1T；（2）当1T时，A不是可逆矩阵。第三章1.设1)1(343122321AA，求)2(1)(AEA。2.设021112111A，求(1)1A,(2))()(21EAEA。3．设A=101110011，且矩阵X满足AX=A+2X，求X。4.设321011330A，且BAAB2，求B。5.求解下列非齐次线性方程组：1）12222412wzyxwzyxwzyx2）2132130432143214321xxxxxxxxxxxx3）153130432143214321xxxxxxxxxxxx6.当为何值时，线性方程组23213213211xxxxxxxxx1）有唯一解；2）无解；3）有无穷多个解？7.当取何值时，非齐次线性方程组321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx，（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷解第四章一.选择题1.向量组（Ⅰ）：1,2,…,r和向量组（Ⅱ）：1，2，…s等价的定义是向量组（）A.（Ⅰ）和（Ⅱ）可互相线性表示B.（Ⅰ）和（Ⅱ）中有一组可由另一组线性表示C.（Ⅰ）和（Ⅱ）中所含向量的个数相等D.（Ⅰ）和（Ⅱ）的秩相等2.设A是nm矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关3.向量组α1、α2、…αs线性无关的充要条件是()A.α1、α2、…、αs都不是零向量B.α1、α2、…、αs中任意两个向量都线性无关C.α1、α2、…、αs中任一向量都不能用其余向量线性表出D.α1、α2、…、αs中任意s-1个向量都线性无关4.设向量组(I)：1，2，…r，向量组(II)：1，2，…r，1r，…，s则必有（）A．若(I)线性无关，则(II)线性无关B．若(II)线性无关，则(I)线性无关C．若(I)线性无关，则(II)线性相关D．若(II)线性相关，则(I)线性相关5.若4阶方阵A的行列式等于零，则必有（）A．A中至少有一行向量是其余向量的线性组合B．A中每一行向量都是其余行向量的线性组合C．A中必有一行为零行D．A的列向量组线性无关二．填空题1.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=2.若向量组t,,,,,,,,31322101321　　线性无关，则t应满足条件________.3.设)1,1,1(1，)3,2,1(2，),3,1(3t若321,,线性相关，则t=4.设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=______.5.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于___.三.计算题1、设向量组α1=(1,1,2,3)T,α2=(1,-1,1,1)T,α3=(1,3,3,5)T,α4=(4,-2,5,6)T,α5=(-3,-1,-5,-7)T,试求α1，α2，α3，α4，α5的一个最大线性无关组，并求其余向量由此最大线性无关组线性表示的表达式.2、设向量组T)34,,1,2(1，T)66,,1,1(2，T)72,,1,1(3，T)9,4,4,2(4，求向量组1，2，3，4的秩r和一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。3、设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，t+2)T，α4=（-2，-6，10，t）T，试确定当t为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.4、设矩阵),,,(4321aaaaA，其中432,,aaa线性无关，3212aaa。向量4321aaaab，求方程组bAx的通解。5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,是它的三个解向量，且4321,5432321求该方程组的通解。四．证明题1、设向量组)1(,,21mm线性无关，且m21，证明m21,，线性无关.2、设Tiniiaaa),,,(21i(i=1,2,,r;rn)是n维实向量，且1，2,，r线性无关。已知Tnbbb),,,(21是线性方程组000221122221211212111nrnrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的非零解向量，证明1，2,，,r线性无关。3、设向量组1，2,，m线性无关，向量1可由其线性表示，而向量2不能由其线性表示，证明向量组1，2,，m，1l+2必线性无关（l为任意实数）。第五章一.填空题1．已知3维向量α=（1，3，-1）T，β=（-1，2，4）T，则内积（α，β）=____________.2.已知向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T,α与β的内积为2，则数k=________.3.已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_____.4.已知向量α=（3，k,2）T与β=（1，1，k）T正交，则数k=_______.5.已知向量Ttt),2,3(与Tt),1,1(正交,且β的长度大于3，则t=_____.6.在3R中同时与向量T)1-,0,1(1，T)1,1,0(2都正交的单位向量为______.二．计算题1.设矩阵aA01034011的特征值之和为4，（1）求常数a，（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的全部特征向量，（3）计算1A。2.设aA14020112的特征值之和为3（1）求常数a，（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的特征向量，（3）求22A3.设A=122212221，求A的特征值及对应的特征向量.