概率论与数理统计第一至第四章得重点题型 复习资料

第一章随机事件与概率一、填空题1.写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则W=0,1,,100iinn禳镲镲=睚镲镲铪；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则=10,xxx为整数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则=00,100,010,1100,1010,0110,1110,1101,1011,0111,1111；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则={}22(,)1xyxy+；（5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则W=3,4,,18；（6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则=,,0,0,0,1xyzxyzxyz；（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则=0,1,2,；（8）记录某城市一天内的用电量，则=0xx。2.设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）“A发生，B与C不发生”=CBA；（2）“A与B都发，而C不发生”=CAB；（3）“A，B，C中至少有一个发生”=CBA；(4)“A，B，C都发生”=ABC；（5）“A，B，C都不发生”=CBA；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=CBCABA；（7）“A，B，C中不多于两个发生”=CBA；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=ACBCAB。3.在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1）“至少出现一个正面”=(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)；（2）“最多出现一个正面”=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)；（3）“恰好出现一个正面”=(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)；（4）“出现三面相同”=(0,0,0),(1,1,1)。4.设{}11302,1,242xxAxxBxx禳禳镲镲镲镲W=＃=??睚睚镲镲镲镲铪铪，则（1）2312141xxxBA或；（2）20xxBA（3）2341xxBABABA；（4）2x1210或xxABSAB5.设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当时，P（AB）取到最大值，最大值=；（2）当时，P（AB）取到最小值，最小值=。解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当BAP最小时，P(AB)最大。当BBA，即BA时，BAP最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。（2）当BAP最大时，P(AB)最小。当SBA时，BAP取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为BAPBPAPABP=0.6+0.7-1=0.3。6.设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率=。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“”，进而想到公式：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC解：至少有一个发生：ABC()()()()()()()()1111500044488PABCPAPBPCPABPBCPACPABC其中()()0()0PABCPABPABC7.设P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=61,则事件A,B,C都不发生的概率=。解：事件A,B,C都不发生：ABCABC()()1()1()()()()()()()11111714446612PABCPABCPABCPAPBPCPABPBCPACPABC8.在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，…，9）=。解：所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数为410P，则所求概率为41046310125P。9.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则（1）最小号码为5的概率=；（2）最大号码为5的概率=。解样本空间的样本点总数为310C。（1）最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6～10号中任取，故事件的样本点个数为25C，所求概率为2315101/12pCC（2）最大号码为5，其余2人在1～4中选号，事件的样本点个数为24C，所求概率为2324101/20pCC10.10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率=。要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法解：设甲已坐好，其余1n个人相对甲的坐法有1!n种，甲乙相邻，乙有两种坐法，其余2n个人的坐法有2!n种，故所求概率为2(2)!2(1)!1nnn。10.从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率4541041()1()142CPAPAC。11.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率3533()10PAC。12.一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率=。要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有6!种不同结果。而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有一个不能相接，只可与余下的4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取1个，与余下的2个头中的任一个相接，这总共有644221种可能接法，故所求概率为64422186!15。13．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率=。解：设A两数之和小于6/5，两数分别为,xy，由几何概率如图A发生01x01y65xy2111(1)52()1SPAS阴正172514.设A,B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,PBA=0.8,则()PAB=。解：()()()0.80.50.4PABPBAPA，所以()()()()0.50.60.40.7PABPAPBPAB15.设A,B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,则P(BA)=。解：()()()()0.40.30.60.1PABPAPBPAB，所以()()()0.40.10.3PABPAPAB。16.已知事件A，B满足()()PABPAB，记()PAp，则()PB=。解：()()11()()()PABPABPABPABPAPBPAB，由此得1()()0PAPB，所以()1()1PBPAp。17.已知()0.7,()0.3PAPAB，则()PAB=。解：因为0.3()()()0.7()PABPAPABPAB，所以()0.70.30.4PAB，()1()0.6PABPAB18.已知111(),(),()432PAPBAPAB，则()PAB=。解：1()04PA，由乘法定理有：1()()()12PABPBPBA01y1yyx65xy又由()()()PABPABPB有：()1/121()()1/26PABPBPAB1111()()()()46123PABPAPBPAB19.三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率=。要点：“至少”对立事件。解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(1－1/5)(1－1/3)(1－1/5)=0.4，至少一个译出的概率为1－0.4=0.6。20.设,,ABC两两独立的事件，且ABC。若()()()1/2PAPBPC，且()9/16PABC，则()PA=。解：9()()()()()()()()16PABCPAPBPCPABACPBCPABC23()3[()]PAPA216[()]16()30PAPA.3()4PA或1()4PA，由1()2PA1()4PA.21.已知()0.4,()0.7,PAPAB（1）若A和B不相容，则()PB=；（2）若A和B独立，则()PB=；（3）若AB，则()PB=。解：（1）()()()()()PABPAPBPABPB()()()0.70.40.3PABPAPAB（由已知AB）（2）()()()()PBPABPAPAB0.70.4()()PAPB0.30.4()PB10.6()0.3()2PBPB（3）()()0.7PBPAB22.设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为2719，则在一次试验中事件A出现的概率=。解：设所求概率为p，由题意有3003)1(1ppC=2719，则p=3123.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率=32。24.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设iA第i次取到正品，1,2,3i则363()105PA或3123123123123()()()()()PAPAAAPAAAPAAAPAAA6544654366453109810981098109851234361()0.1109810PAAA25.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.解：设iA取到第i箱1,2,3i，B取出的是一个白球31113553()()(|)()3568120iiPBPAPBA22213()(|)2036(|)53()53120PAPBAPABPB26.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_________.解法1样本点总数为410P，记A=“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对立事件A=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故事件A所包含的样本点总数为10×8×6×4，得解法2A中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有4452C种取法，故44451013()1()12/21PAPACC27.设在一次试验中，事件A发生的概率为p.现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为_____