二次函数与最大利润问题课件

第二十二章二次函数知识管理学习指南归类探究当堂测评分层作业22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题学习指南★教学目标★通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测．★情景问题引入★一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元，每星期多卖25件．已知该商品的进价为每件40元，请问：①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？知识管理二次函数与价格调整和利润最大问题调整类型：价格调整分涨价和降价．利润求法：(1)由“利润＝每件的利润×数量”得到二次函数的关系式；(2)根据函数的图象和性质求最大值．注意：商品价格上涨，销售量会随之下降，商品价格下降，销售量会随之增加，两种情况都会导致利润的变化，求利润的最大值，要学会分类讨论．归类探究类型二次函数与最大利润问题[2016·成都]某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y与x之间的关系；(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大产量为多少个？解：(1)平均每棵树结的橙子个数y与x之间的关系为y＝600－5x(0≤x120)．(2)设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为w，则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大产量为60500个．【点悟】在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．[2016·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图22­3­9所示．(1)图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；当售价定为35元/件时，销售数量为20300件(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：；自变量x的取值范围为；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？(1)【解析】图中点P所表示的实际意义是当售价定为35元/件时，销售数量为300件；第一个月该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少的数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．y＝－20x＋100030≤x≤50解：(2)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，将点(30,400)，(35,300)代入y＝kx＋b中，得400＝30k＋b，300＝35k＋b，解得k＝－20，b＝1000，∴y与x之间的函数解析式为y＝－20x＋1000.当y＝0时，x＝50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为z元．由题意得，z＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－200，∴当x＝35时，z的最大值为4500.∴第二个月的销售单价定为35元/件时，可获得最大利润，最大利润是4500元．当堂测评1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.－1【解析】设l＝at2＋bt＋c(a≠0)，选(0,49)，(1,46)，(4,25)代入后得方程组c＝49，a＋b＋c＝46，16a＋4b＋c＝25，解得a＝－1，b＝－2，c＝49.所以l与t之间的二次函数解析式为l＝－t2－2t＋49.当t＝－b2a＝－1时，l有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.2．某商场购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．当销售单价是元时，才能在半月内获得最大利润．【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－30)[400－20(x－40)]＝(x－30)(1200－20x)＝－20x2＋1800x－36000＝－20(x－45)2＋4500，∵－20＜0，∴x＝45时，y有最大值．45分层作业1．[2017·十堰]某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得y＝60＋10x，由36－x≥24，得x≤12，∴1≤x≤12，且x为整数．(2)设所获利润为W，则W＝(36－x－24)(10x＋60)＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810，∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．2．利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息，如图22­3­10所示．图22­3­10请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得x＋y＝5，3x＋1＋22y－1＝19，解得x＝2，y＝3.答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．(2)设每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元，则w＝(1－m)500＋100×m0.1＋[(2×3－1)－3－m]·300＋100×m0.1＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705，∴当m＝0.55时，w有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．3．[2017·安徽]某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式(利润＝收入—成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得50k＋b＝100，60k＋b＝80，解得k＝－2，b＝200.所以y＝－2x＋200(40≤x≤80)．(2)根据题意，得W＝y·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)．(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1800，所以当售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小，所以当x＝70时，利润W取得最大值，最大利润为1800元．