傅里叶级数

9.5.1三角函数系的正交性9.5傅里叶级数9.5.2将函数展开成傅里叶级数9.5.3正弦级数与余弦级数9.5傅里叶级数9.5.1三角函数系的正交性)1()sin()(10nnntnAAtf1．三角级数简谐振动：y=Asin(ωt+),2TA为振幅，ω为角频，为初相。其中A0,An,n为常数。由三角公式，我们有Ansin(nωt+n)=Ansinncosnωt+Ancosnsinnωt则(1)式右端变型为,200Aa令)2()sincos(210nnnnxbnxaa形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、bn为常数。an=Ansinn，bn=Ancosn,ωt=x，2.三角函数系的正交性上正交：，在][,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx[,].任意两个不同函数的乘积在上的积分等于零,0cosnxdx,0sinnxdx三角函数系),3,2,1(n,,,0sinsinnmnmnxdxmx,,,0coscosnmnmnxdxmx.0cossinnxdxmx),2,1,(nm其中9.5.2将函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?iiba,2.展开的条件是什么?傅里叶系数10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有.)1(0a求dxkxbkxadxadxxfkkk])sincos([2)(10设f(x)是周期T=2π的周期函数，且能展开成三角级数：10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,220adxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110.)2(na求nxdxanxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1nxdxkxbnxdxkxakkknxdxan2cos,nanxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(nnxdxanxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1nxdxkxbnxdxkxakkk,nb),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann傅里叶系数傅里叶级数10)sincos(2~)(nnnnxbnxaaxf问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件9.5.1(收敛定理,设)(xf是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则)(xf的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;(2)当x是)(xf的间断点时,收敛于2)0()0(xfxf;注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.狄利克雷(Dirichlet)充分条件)题目类型：(1)将定义在（，）上的以2为周期的函数展开成傅立叶级数。方法：),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann(i)先求傅里叶系数(ii)写出对应的傅里叶级数10)sincos(2~)(nnnnxbnxaaxf)(xf(iii)根据收敛定理把上式写成等式10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf解以2为周期的矩形脉冲的波形0,0,)(tEtEtumm将其展开为傅立叶级数.otumEmEdttua)(10001)(1dtEdtEmm0例1连续点集合x00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm),2,1(0nntdttubnsin)(100sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2nnEm])1(1[2nmnEntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,,0;(tt所求函数的傅氏展开式为所给函数满足狄利克雷充分条件..),2,1,0(处不连续在点kkt2mmEE收敛于,0方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在(，)上的周期函数F(x).(2)将定义在[-，]上的函数f(x)展开成傅立叶级数。(iii)限制在[-，]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(ii)F(x)的傅立叶级数与f(x)的傅立叶级数相同.将函数xxxxxf0,0,)(展开为傅立叶级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.)(xf],[xy022例2nxdxxfancos)(100cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22nn]1)1[(22nndxxfa)(10001)(1xdxdxx,,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknknxdxxfbnsin)(100sin1sin)(1nxdxxnxdxx,012)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为),3,2,1(n利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12nxnnxf,0)0(,0fx时当222513118,4131211222设),8(513112221,6141212222,41312112223,44212,24321221,62132.1229.5.3正弦级数和余弦级数1.奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(1)当周期为2的奇函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00nnxdxxfbnann(2)当周期为2的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20nbnnxdxxfann证明,)()1(是奇函数设xfnxdxxfancos)(10),3,2,1,0(n奇函数0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证(2)定义如果)(xf为奇函数,傅氏级数nxbnnsin1称为正弦级数.如果)(xf为偶函数,傅氏级数nxaanncos210称为余弦级数.nxdxxfbnsin)(1偶函数定理证毕.设)(xf是周期为2的周期函数,它在),[上的表达式为xxf)(,将)(xf展开成傅氏级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)0()0(ff收敛于2)(,0),())12((xfkxx处收敛于在连续点例30sin)(2nxdxxfbn0sin2nxdxx02]sincos[2nnxnnxxnncos2,)1(21nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211nnnxn),3,;(xx2、函数展开成正弦级数或余弦级数。展开成正弦或余弦级数上的将定义在),(],0[xf做法：奇延拓()0()00()0fxxFxxfxx令xy0的傅氏正弦级数)(xf1sin)(nnnxbxf)0(x()0()()0fxxFxfxx令的傅氏余弦级数)(xf10cos2)(nnnxaaxf)0(xxy0偶延拓将函数)0(1)(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.,)(进行奇延拓对xf0sin)(2nxdxxfbn0sin)1(2nxdxx)coscos1(2nnn,6,4,22,5,3,122nnnn当当例4]3sin)2(312sin2sin)2[(21xxxx)0(x.00处，级数收敛到及在端点xx(2)求余弦级数.,)(进行偶延拓对xf00)1(2dxxa,20cos)1(2nxdxxan)1(cos22nn,5,3,14,6,4,202nnn当当)5cos513cos31(cos412122xxxx)0(x总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：(1)将定义在（，）上的以2为周期的函数f(x)展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在（，）上的周期函数F(x),将F(x)的傅立叶级数限制在[-，]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(2)将定义在[-，]上的函数f(x)展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义在(-,]上的函数F(x),F(x)的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在[0]再用收敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。(3)将定义在[0，]上的函数f(x)展开成正弦（余弦）级数。