2019学年鄞州中学高二上学期期中试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.1.若椭圆222116xyb过点2,3,则其焦距为()A.23B.25C.43D.45【答案】C【解析】【分析】将点2,3代入椭圆得到2b,23c,得到焦距.【详解】椭圆222116xyb过点2,3,故243116b,2b,故16423c,焦距243c.故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的焦距,意在考查学生的计算能力.2.命题“若0m,则20xxm有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中,假命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】C【解析】因为0m,则140m,故20xxm有实数根,原命题的逆命题为:若20xxm有实数根,则0m,取14m,则方程为2104xx,此方程的解为12x,故方程有实数根,为但104m,故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假,故4个命题中,假命题的个数为2.点睛:在命题的真假判断中,注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断.3.已知,mn是两条不同直线,,是两个不同的平面()A.若//,//mm,则//B.若,//mm,则//C.若,//mn,则//mnD.若,mn,则//mn【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若//,//mm,则//或,相交,A错误;B.若,//mm,则,B错误;C.若,//mn,则mn,C错误;D.若,mn,则//mn,D正确;故选:D.【点睛】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.4.下列命题说法正确的是()A.命题“若21x,则1x”的否命题为:“若21x,则1x”B.“03x”是“11x”的必要不充分条件C.命题“xR,使得210xx”的否定是:“xR,均有210xx”D.命题“若xy,则sinsinxy”的逆命题为真命题的【答案】B【解析】试题分析:A、命题“若21x,则1x”的否命题为:“若,则1x”;B、即为,可知03x是的必要不充分条件;C、命题“xR,使得210xx”的否定是:“xR,均有”;D、命题“若xy,则sinsinxy”的逆命题为“若sinsinxy,则xy”,是假命题(如).考点:常用逻辑用语.5.设方程22(3)20xyxyx表示的曲线是()A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线【答案】A【解析】【分析】根据题意得到30xy且2220xyx,或2220xyx,画出图像,分别判断得到答案.【详解】22(3)20xyxyx,故30xy且2220xyx,如图所示:画出图像知,表示一条直线;或2220xyx,即2211xy表示一个圆.故选:A.【点睛】本题考查了方程表示曲线,漏解是容易发生的错误.6.如右图在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段ACBD,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,AB4cmAC6cmBD8cmCD217cm,,,,则这个二面角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】过点A作AEBD且AEBD,连接,CEDE,则AEAB,即CAE为二面角的平面角,由题意,得2228652AEBDACCECDED,,,由余弦定理,得2226436521cos22862AEACCECAEAEAC,则060CAE,即这个二面角的度数为060;故选B.的7.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出//AB平面MNP的图形的序号是()A.①③B.②③C.①④D.②④【答案】C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性,利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①,连接AC如图所示,由于//,//MNACNPBC,根据面面平行的性质定理可知平面//MNP平面ACB,所以//AB平面MNP.对于②,连接BC交MP于D,由于N是AC的中点,D不是BC的中点,所以在平面ABC内AB与DN相交,所以直线AB与平面MNP相交.对于③,连接CD,则//ABCD,而CD与PN相交,即CD与平面PMN相交,所以AB与平面MNP相交.对于④,连接CD,则////ABCDNP,由线面平行的判定定理可知//AB平面MNP.综上所述,能得出//AB平面MNP的图形的序号是①④.故选:C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题.8.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MDABCD平面,NBABCD平面,且1MDNB,G为MC的中点.则下列结论中不正确的是()A.MCANB.//GBAMN平面C.CMNAMN平面平面D.//DCMABN平面平面【答案】C【解析】由题意,取MN中点O,易知AOC就是二面角AMNC的平面角,有条件可知,90AOC,所以平面CMN与平面AMN不垂直,故C错误.故选C.9.如图,在长方形ABCD中,3AB,1BC,点E为线段DC上一动点,现将ADE沿AE折起,使点D在面ABC内的射影K在直线AE上,当点E从D运动到C,则点K所形成轨迹的长度为()A.32B.233C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知,若连接D'K,则D'KA=90°,得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧,根据长方形的边长得到圆的半径,求得此弧所对的圆心角的弧度数,利用弧长公式求出轨迹长度.【详解】由题意,将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,在平面AED内过点D作DK⊥AE,K为垂足,由翻折的特征知,连接D'K,则D'KA=90°,故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧,根据长方形知圆半径是12,如图当E与C重合时,AK=114=12,取O为AD′的中点,得到△OAK是正三角形.故∠K0A=3,∴∠K0D'=23,其所对的弧长为1223=3,故选:C【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目,解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧,翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变,属于中档题目.10.如图,在△ABC中,∠C=90°,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,AP=AB=2,∠EAF=α,当α变化时,则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是()A.22B.24C.26D.28【答案】C【解析】【分析】等腰RtPAB中,算出2AEPEBE,由线面垂直的判定与性质,证出BC⊥面PAC,得PBAF,从而证明AF平面PBC,可证明PB面AEF,三棱锥PAEF的高2PE为定值,在RtAEF中,算出,AFEF,可得AEFS,利用三角函数的有界性求出AEFS的最大值,即可得出结果.【详解】在RtPAB中,2,22PAABPB,1,2,22AEPBAEPBPEBE,PA底面ABC,得,,PABCACBCPAACA,BC平面PAC,可得AFBC,,,AFPCBCPCCAF平面PBC,PB平面,PBCAFPB,AEPB且,AEAFAPB面AEF,三棱锥PAEF的高2PE为定值,AF平面,PBCEF平面,PBCAFEF,RtAEF中,2cos,2AFEFsin,11122cossin2222AEFSAFEFsin,∴当sin21,即45时,AEFS有最大值为12,此时,三棱锥PAEF的体积的最大值为1122326,故选C.【点睛】本题着重考查了线面垂直的判定与性质、棱锥的体积公式,属于中档题.同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力,是一道综合性较强的题.证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论//,abab;(3)利用面面平行的性质,//aa;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.二、填空题:本大题共7小题,前4题每空3分,后3题每空4分,共36分.11.已知原命题为“若0<x<1,则x2<1”,写出它的逆否命题形式_____,它是_____(填写”真命题”或”假命题”).【答案】(1).若x2≥1,则x≤0或x≥1(2).真命题【解析】【分析】由原命题为真可得逆否命题也为真,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.【详解】原命题为“若0<x<1,则x2<1”,显然该命题为真命题,则它的逆否命题形式“若x2≥1,则x≤0或x≥1”,是真命题,故答案为若x2≥1,则x≤0或x≥1,真命题【点睛】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.12.正方体1111ABCDABCD中,,EF分别是1,AAAB的中点,则EF与直线1AC所成角的大小为______;EF与对角面11BDDB所成角的正弦值是__________.【答案】(1).2(2).12【解析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,计算0,1,1EF,12,2,2AC,对角面11BDDB的一个法向量为1,1,0n,计算得到答案.【详解】如图所示建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,则2,0,1E,2,1,0F,2,0,0A,10,2,2C,故0,1,1EF,12,2,2AC.故10EFAC,故EF与直线1AC所成角的大小为2.易知对角面11BDDB一个法向量为1,1,0n,设EF与对角面11BDDB所成角为,故1sincos,2EFnEFnEFn.故答案为:2;12.【点睛】本题考查了异面直线夹角,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.13.已知某组合体的三视图如图所示,其侧视图是一个等腰直角三角形,则该组合体的表面积为______,体积为____________.的【答案】(1).1244(2).1123【解析】【分析】根据三视图知,几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形,计算表面积和体积得到答案.【详解】根据三视图知:几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形.故11112112254424224S;1111111343123V.故答案为:1244;1123.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14.已知圆锥SO的底面半径是23,母线长是2,则将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于________,若M是SA的中点,从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A,则绳子长度的最小值等于__________.【答案】(1).23(2).7【解析】【分析】扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长,为24233,半径为母线长2,从而可得圆心角;设侧面展开图为扇形'ASA,则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值,由余弦定理可得结果.【详解】扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长,为24233,半径为母线长2,所以,将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于42323;设侧面展开图为扇形'ASA,则展开图中'