初一有理数运算中的几个技巧

1有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1计算：－(0.5)－(－341)+2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341)+2.75－(721)=(－0.5+2.75)+(341－721)=2.25－441=－2．解法二：－(0.5)－(－341)+2.75－(721)=－0.5+341+2.75－721=(3+2－7)+(－0.5+41+0.75－21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1=(20＋300＋4000＋50000)－4=54320－4=54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．2解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]=4125＋(－71)＋(－72)＋6127=[4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)]=11＋(－73)=1074．评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88=17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44=17.48×(37＋19＋44)=1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5计算2005×20042003－1001×10021001．解：2005×20042003－100210011001=(2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001=(2003－1001)＋(20042003＋10021001)=100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，3其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6计算512769)323417(125.0323417×(0.125＋323417512769)．解：设a=323417，b=0.125，c=512769，则512769)323417(125.0323417×(0.125＋323417512769)=caba×(b＋ac)=caba×acab=1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417，0.125，512769，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．七、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69=(2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)=0＋0＋0＋…＋0=0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①解：把①式括号内倒序后，得：421＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)，②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59=1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)=21(1770)=885．评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、添数配对例9计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．=20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)=2222222220－45=2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=x，①则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x，②①－②，得1＋5121=23x，解得x=256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．