弹性力学14-圆孔的孔口应力集中

4.8圆孔的孔口应力集中第四章平面问题的极坐标解答“小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于1.5倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。（2）应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍的孔口尺寸（如圆也直径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。max应力集中系数：maxK第四章平面问题的极坐标解答（1）双向均布拉力4.8圆孔的孔口应力集中（2）均布拉力和压力（相等和不相等两种情况）（3）只有x向的均布拉力。分四种情况讨论圆孔口的一些解答第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐标系求解。以坐标原点为圆心，以远大于r的长度R为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即0,xyyxq代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆周上的极坐标应力分量为0,q求解圆孔附近应力分布问题就转化为一个新问题：内半径为r、外半径为R的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题1.距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中根据4.6节中圆环只有外压力作用时的解答式，可取内、外压力分别为q1=0，q2=-q，代入得由于R远大于r，上式可化简为qRrrqRrr2222222211,11)1(,)1(2222rqrq第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中2.距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q、上下两边受均布压力q以坐标原点为圆心，以远大于r的长度R为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，即0,,xyyxqq代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆周上极坐标应力分量为（外边界条件）2sin,2cosqqRR在孔边处的边界条件为（内边界条件）0,0rr第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中2sin)(2cos)(21ff或（1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：（2）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系，得应力函数的一般形式如下：因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。2cos)(f)1(1122222第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中（3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常微分方程（欧拉方程）得应力函数的具体形式：2cos)(f代入相容方程（4-6）除去，为欧拉方程，得解43243223ddddcos2[]0ddddf2f9f9fυρρρρρρρcos2υ422()DfρAρBρCρ422cos2()DAρBρCρA、B、C、D为待定常数，带入得第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中（4）由应力函数求应力分量：代入方程，可得应力分量表达式。（5）考察内外边界处的边界条件，并考虑到R远大于r令，确定四个待定常数A、B、C、D为：422,,2,0rqDrqCqBA代入应力分量表达式，得最终解答式（4-18）。0rR2222442222cos2(1)(13)cos2(13)sin2(1)(13)ρυρυrrσqυρρrσqυρrrτqυρρ第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中3.距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q1、上下两边受均布拉力q2根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分：（1）第一部分是四周受均布拉力(q1+q2)/2；（2）第二部分是左右两边受均布拉力(q1-q2)/2和上下两边受均布压力(q1-q2)/2。＝＋第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答。（1）对于第一部分荷载，可应用前面第1种情况的解答，并将其中的q替换为(q1+q2)/2；（2）对于第二部分荷载，可应用前面第2种情况的解答，并将其中的q替换为(q1-q2)/2；第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中4.只在左右两边受均布拉力q根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部分是四周受均布拉力q/2；第二部分是左右两边受均布拉力q/2和上下两边受均布压力q/2；对于第一部分荷载，可应用前面第1种情况的解答，并将其中的q替换为q/2；对于第二部分荷载，可应用前面第2种情况的解答，并将其中的q替换为q/2；根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答式（4－43）。第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中分析第4种情况时（只在左右两边受均布拉力q），圆孔附近的应力状态——环向应力1.在y轴上（f=p/2），环向正应力为2.在x轴上（f=0），环向正应力为)23211(4422rrq在y轴上，环向正应力在孔边达到最大值3q，随着远离孔边而急剧趋近于q；)13(22222rrq在x轴上，环向正应力在孔边达到最小值–q，在处变为0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后，随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0；r3第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中3.在x轴上（f=0）或y轴上（f=p/2），分析可得，在距离圆孔为1.5倍孔口尺寸时（=4r），由于圆孔引起的应力扰动已小于q值的5%，可忽略不计。第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中1.小孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔）共同的特点：（1）集中性--孔口附近应力远处的应力，孔口附近应力无孔时的应力。（2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。（3）孔口应力集中与孔口形状有关，圆孔应力集中程度最低，凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。小孔口应力集中特点小结及本节内容的推广应用第四章平面问题的极坐标解答4.8圆孔的孔口应力集中2.应用推广：任意形状的薄板，受任意面力，在距离边界较远处开有小孔，要知道孔口附近应力分布时，均可近似为无限域中的孔口问题，即：（1）假设无孔，求出结构在孔心处的应力；（2）求出孔心处的主应力1、2和主方向；（3）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力q1=1、q2=2的远处应力场作用下，用叠加法求小孔口附近的应力集中问题。第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。如图，半平面体受集中力F（单位厚度上的力）的作用，采用半逆解法求解。（一）应力分量（二）应变及位移分量第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力1、根据量纲分析方法来假定应力分量的函数形式应力分量(L-1MT-2)比集中力(MT-2)的长度量纲低一次幂，而应力函数又比应力分量(L-1MT-2)的长度量纲高二次幂，因此可假定应力函数是环向坐标的某一函数乘以极半径：)(f2、代入相容方程（4-6），求应力函数0)]()(2)([11122443222222fff解此4阶常系数齐次线性微分方程，得：)sincos(sincos)(DCBAf代入应力函数，得)sincos(sincosDCBA（一）应力分量第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力略去应力函数中与应力分布无关的一次式，得到式(4-20)的应力函数。3、由应力函数求应力分量代入应力分量表达式（4-5），得式（b）。)sincos(DC0)1(0)sincos(21122222CD(cocossinssin)CBDAfffffcossinABAxByff其中前两项：第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1）不包含原点，则在≠0，f=±p/2的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力边界条件为0,00,20,2pp由以上应力分量式（b），显然是满足的，对待定系数问题的解决没作用。4、考察边界条件第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力（2）在原点附近，可以看成是一段小边界。在此小边界处，有面力的作用，而面力可以向原点简化为作用于原点的主失量为F，主矩为0的情形。按照圣维南原理来进行处理，以点O为中心，以为半径作圆弧线abc，在原点附近割出一小部分包含局部边界的脱离体Oabc，然后考虑此脱离体的平衡条件，得到三个平衡方程：0d)(,00sincosd)(sind)(,00cossind)(cosd)(,0222222ppppppoyxMFFFF脱离体上的应力必须按照正的方向标上；选择一个正方向（以坐标轴方向为正向）列力的平衡方程式。第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角度为0，可得到其应力解答式。将应力分量表达式（含待定常数）带入上述边界方程（第1、2式），求得待定常数C和D，并带入（b）式；ppsin,cosFCFD0)sinsincos(cos2pF2cos,0Fffp第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达式（4-23）。2cos,0Fffp322222coscos2sincossin2sincossincosxxxyFFFppp222cos,sin,-xyxy利用带入上式可得：直角坐标的应（4力分量表达式24）第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力求出应力解答后，将极坐标下的应力解答式（4-22）物理方程式（4-3）求出应变分量，然后根据几何方程通过与4.5节相同的方法求出位移分量。（二）应变及位移分量对几何方程第一式积分，求出，含；ρu)(1υfυu)(2f代入第三式，分开变量，求出和，得（d）式：)(1υf)(2f对几何方程第二式积分，求出，含；2(1)coslnsincossin2(1)(1)sinlncossinsincosρυFFuIKEEFFFuEEEHIKfffffppppp其中H、I、K均为待定的常数。第四章平面问题的极坐标解答4.9半平面体在边界上受集中力当集中力F铅直时，=0，研究对象关于=0（x轴）对称，由对称性有：带入（c）式第二式可得：H=K=0，位移分量表达式为：2(1)coslnsincos2(1)(1)sinlncossinsinρυFFuIEEFFFuIEEEffffppppp其中常数项I