线性代数 北京理工大学出版社 习题解答_doc下载

1第一章行列式学习要求1.理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2.理解n级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3.理解n阶行列式的概念和n阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n阶行列式；4.掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6.掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.§1.1二阶与三阶行列式1.计算二阶行列式：(5)22322211(1)(1)1;1xxxxxxxxxx2．计算三阶行列式：(2)10135050(12)0007;0413．求解方程34100.01xDxx解2341043(1)(3)0,01xxxxxxx由故原方程的解为.31xx或4．用行列式解下列方程组：(1)1212323,431.xxxx(2)12312312320,21,23.xxxxxxxxx解2(1)D329810,431D32927,132D333129,41故所求的方程组有唯一解：127,9.xx(2)D12121122211880,1121D4213111120，2D4231112101，3D12021112,113故所求的方程组有唯一解：.23,21,21321xxx6.当x取何值时，23130.123xx解223133963(1)(2)0,123xxxxxx由解得.21xx且§1.3n阶行列式的定义1.写出四阶行列式中含有因子3422aa的项.解利用n阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子3422aa的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为4311aa和4113aa.又因为(1243)1，(3241)4，所以四阶行列式中含有因子3422aa的项为(1243)11223443(1)aaaa和(3241)13223441(1)aaaa，即11223443aaaa和13223441aaaa.3.已知xxxxxxf21123232101)(，用行列式的定义求3x的系数.3解)(xf的展开式中含3x的项只有一项：(2134)3(1)1xxxx，故3x的系数为1.4.利用行列式的定义计算下列行列式:(2)244321)1(0400000300201000)4213(;解析由n阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取114a，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取222a，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取331a，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取443a，那么行列式的结果为244321)1(43312214)4213(aaaa;补充练习1.由行列式的定义写出xxxxxxD221321213215的展开式中包含3x和4x的项.解D的展开式中含4x的项只有一项4)1234(1025)1(xxxxx，而含3x的项有两项(2134)(1)12xxx和(4231)(1)3xxx，从而展开式中含3x的项为：333)4231()2134(5323)1(21)1(xxxxxxxxx.§1.4行列式的性质1.利用行列式的性质计算下列行列式：(2)111111111abacaebdcddeabcdefbfcfef2131111002022rrabcdefrr231110224;002rrabcdefabcdef(3)由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.4311166661111111113111311131102006648;11311131113100201113111311130002(4)21312341(3)121212121212(1)(1)3011064702391204041204122241100130013rrrrrrrr4332121212121()(2)02390239510.005200052000130001rrrr2.证明下列等式：（2）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa;（3）0111111111332313322212312111yxyxyxyxyxyxyxyxyx;.证明(2)把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)2144690(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469aaaaaaaabbbbbbbbccccccccdddddddd;(3)由性质4，将D的第1列拆开，得332332223121111111111yxyxyxyxyxyxD332313322212312111111111yxyxyxyxyxyxyxyxyx,将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取1y，得332332223121111yxyxyxyxyxyxD3323332222312111111111yxyxxyxyxxyxyxxy，5将第1个行列式第2、3列提取32,yy，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，33221132111xxxxxxyyD1113112112131222322222223333333233233111111111111xxxyxxyxxyxyyxxxyxxyxxyxyxxxyxxyxxyxy000;3.计算下列n阶行列式.(1)xxx111111;(2)n222232222222221;解(1)把第n,,3,2列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子)1(nx，提取公因子之后，再给第1行乘以)1(加到第n,,3,2行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.11(1)1111111(1)111[(1)]11(1)111xxnxxnxxxnxxnxx1111010[(1)][(1)](1)001nxxnxnxx;(2)把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得122222222232222n2-000010022220001-n)!2(22-000010022200001-nn;4.求方程01111111111111111的根.6解第1行乘以)1(加到第4,3,2行，得如下行列式:111100,0000再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.34111000(4),000000即可求出根:40或.补充练习2.已知行列式2333231232221131211aaaaaaaaa，求行列式332313231332221222123121112111323232aaaaaaaaaaaaaaa的值.解332313231332221222123121112111323232aaaaaaaaaaaaaaa3323132313322212221231211121113332aaaaaaaaaaaaaaa3323231332222212312121112aaaaaaaaaaaa3323131332221212312111113332aaaaaaaaaaaa2323132222122121112aaaaaaaaa3323133222123121112aaaaaaaaa=11121321222331323324aaaaaaaaa.§1.5行列式按行（列）展开1.求行列式204502311中元素5与2的代数余子式.解元素5的代数余子式为212104(1)4,11A7元素2的代数余子式为232320(1)2.31A2.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解由行列式按行（列）展开定理，得3131323233333434313233344(1)23(1)10(1)(1)(2)(1)4830813.DaAaAaAaA3.求下列行列式的值（2）12341012311012053141(1)(2)cccc1222100031461217212221(1)1462172131(1)(1)cccc20013523911352(1)24;39（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得231111122(21)(21)(22)(1)(2)[(2)]14418812(1)(2)(2).xxxxxxxxx4.讨论当k为何值时，行列式11001200003003kkk.解1100120003003kkk21(1)cc10001120003003kkk111201(1)0303kkk113(1)(1)(1)(3)(3),3kkkkkk8所以，当1k，且3k，且3k时，11001200003003kkk.5.计算n阶行列式(3)按第1列展开，得112111000012100012002(1)(1),0002100012nnDD上式右端的行列式再按第一行展开，得122,nnnDDD移项，得112nnnnDDDD，递推，得11223212121,12nnnnnnDDDDDDDD从而得112211,1,,1,nnnnDDDDDD把上面1n个等式相加，得11211.nDDnnn7．设四阶行列式4,abcdcbdaDdbcaabdc试求14243444AAAA的值，其中4iA（1,2,3,4i）为行列式4D的第4列第i行的元素的代数余子式.解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有12142224323442440,aAaAaAaA即1424344414243444()0,bAbAbAbAbAAAA142434440.AAAA9§1.6行列式的应用1.用克莱姆法则解线性方程组（3）1234123423412321,22,233,5.xxxxxxxxxxxxxx