量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系一、算符的对易关系：对于任意的波函数，不对易对易Gˆ,Fˆ0Gˆ,Fˆ0GˆFˆFˆGˆFˆ,Gˆ1.坐标算符和动量算符的对易关系xˆxpˆ?pˆ,xx将作用在任意波函数上，即：xpˆ,xxpˆpˆxxx)x(而是任意的，)x(所以：xˆx,pi)x(ix(x)x(x)(x)ixixixxˆˆxppx(x)x(i)(x)(x(x))xix该式称为和的对易关系，等式右边不等于0，即和不对易。xxpˆxxpˆ同样可得：yxˆˆˆˆ[z,p]z,p0xyxzyzˆˆˆˆˆˆ[p,p]p,pp,p0yzˆˆ[x,p]x,p0zxˆˆˆˆy,py,p0zˆˆz,piyˆˆ[y,p]i以上可总结为基本对易关系：即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。0p,p0x,xip,xjijiijji3,2,1j,ia.称为与的对易关系，等于0称二算符对易；否则称二算符不对易。ˆˆˆˆˆˆ[G,F]GFFGGˆFˆb.以上和的对易关系是量子力学算符的基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。ixjpˆ说明：=)pˆzˆpˆyˆ(yz)pˆxˆpˆzˆ(zx)pˆxˆpˆzˆ(zx)pˆzˆpˆyˆ(yz=xzpˆzˆpˆyˆzzpˆxˆpˆyˆxypˆzˆpˆzˆ+zypˆxˆpˆzˆzxpˆyˆpˆzˆyxpˆzˆpˆzˆ+zzpˆyˆpˆxˆyzpˆzˆpˆxˆ=xzpˆzˆpˆyˆxzpˆpˆzˆyˆ+xˆpˆzˆpˆzyxˆzˆpˆpˆzy=xpˆyˆi+xˆpˆiy=zLˆi2.角动量算符的对易关系：xyxyyxˆˆˆˆˆˆ[L,L]LLLLxyˆˆ[L,L]zLˆiyzˆˆ[L,L]xLˆizxˆˆ[L,L]yLˆi满足轮换对称性同理可证：即：说明：a.可合并写为：(矢量式)，即角动量算符的定义式。LiLL]Lˆ,Lˆ[x2=2xx2LˆLˆLˆLˆ=3xLˆ+x2yLˆLˆ+x2zLˆLˆ3xLˆ2yxLˆLˆ2zxLˆLˆ=yLˆyLˆxLˆyLˆxLˆyLˆ+yLˆxLˆyLˆxLˆyLˆyLˆ+zLˆzLˆxLˆzLˆxLˆzLˆ+zLˆxLˆzLˆxLˆzzLˆLˆ=]Lˆ,Lˆ[Lˆxyy+yxyLˆ]Lˆ,Lˆ[+]Lˆ,Lˆ[Lˆxzz+zxzLˆ]Lˆ,Lˆ[=0b.利用可以证明：；LiLL2xˆˆ[L,L]]Lˆ,Lˆ[y22zˆˆ[L,L]01[]Bˆ,Aˆ=]Aˆ,Bˆ[；2]Aˆ,Aˆ[=0；3[]c,Aˆ=0（c为复常数）；4[]CˆBˆ,Aˆ=[]Bˆ,Aˆ+[]Cˆ,Aˆ；5[]CˆBˆ,Aˆ=]Cˆ,Aˆ[Bˆ+[Cˆ]Bˆ,Aˆ；6[]Cˆ,BˆAˆ=]Cˆ,Bˆ[Aˆ+Bˆ]Cˆ,Aˆ[。3.算符对易关系的运算法则：证明5：等式右边==CˆAˆBˆCˆBˆAˆAˆCˆBˆCˆAˆBˆAˆCˆBˆCˆBˆAˆ等式左边=，等式成立。AˆCˆBˆCˆBˆAˆ[]Lˆ,Lˆzy=[]pˆyˆpˆxˆ,pˆxˆpˆzˆxyzx=[]pˆyˆpˆxˆ,pˆzˆxyx]pˆyˆpˆxˆ,pˆxˆ[xyz=[]pˆxˆ,pˆzˆyx]pˆyˆ,pˆzˆ[xx]pˆxˆ,pˆxˆ[yz+[]pˆyˆ,pˆxˆxz=yxpˆ]xˆ,pˆ[zˆ+zxpˆ]pˆ,xˆ[yˆ=)pˆzˆpˆyˆ(iyz=xLˆi说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算符对易关系的证明，例如：[]pˆ,Lˆyz=[]pˆ,pˆyˆpˆxˆyxy=]pˆ,pˆxˆ[yy]pˆ,pˆyˆ[yx=]pˆ,pˆ[xˆyy+yypˆ]pˆ,xˆ[]pˆ,pˆ[yˆyxxypˆ]pˆ,yˆ[=xpˆi]Lˆ,Lˆ[x2=]Lˆ,Lˆ[x2x+]Lˆ,Lˆ[x2y+]Lˆ,Lˆ[x2z=yLˆ]Lˆ,Lˆ[xy+]Lˆ,Lˆ[xyyLˆ+zLˆ]Lˆ,Lˆ[xz+]Lˆ,Lˆ[xzzLˆ=zyLˆLˆiyzLˆLˆi+yzLˆLˆi+zyLˆLˆi=0同理可证：]Lˆ,Lˆ[y2=]Lˆ,Lˆ[z2=0，即：]Lˆ,Lˆ[i2=0，,y,xiz二、两个力学量同时具有确定值的条件1.定理定理1：如果两个算符和有一组共同本征函数，而且组成完全系，则算符和对易。FˆGˆnnFˆGˆ证明：设有两力学量和有一组共同的本征函数，即：FˆGˆnnnnFˆnnnGˆ而组成完全系，即对于任意的波函数都可按{}展为级数：。nnnnna)FˆGˆGˆFˆ(=)FˆGˆGˆFˆ(nnna=nna)FˆGˆGˆFˆ(n)FˆGˆGˆFˆ(n=GˆFˆnFˆGˆn=FˆnnGˆnn=nnnnnn=0)FˆGˆGˆFˆ(0FˆGˆGˆFˆ=0而是任意的波函数所以：即：[]=0，定理得证。Gˆ,Fˆ于是：而则：说明：若和有一组共同本征函数，并不一定能够得到=0的结论，除非组成完全系。FˆGˆn]Gˆ,Fˆ[n例：xy00ˆˆ[L,L]Yxyyx00ˆˆˆˆLLLLY0但xyˆˆ[L,L]0iLˆy)sinctg(cosiLˆx)cosctg(sinnnnFˆ,3,2,1nGˆ(Fˆn）=FˆGˆn=nGˆ()n定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。证明：设{}是的完全本征函数系，且本征值非简并。nFˆn则：Fˆ即也是属于的本征函数。nGˆn而和对易，则：GˆFˆ①②而非简并，n则与最多只能差一常数因子，记为，即：Gˆnnn这样也是的本征函数，本征值为。nGˆn所以和有组成完全系的共同的本征函数。FˆGˆn在简并时，的本征函数不一定都是的本征函数，但总可以通过线性迭加证明它们会有共同的本征函数且组成完全系。nFˆGˆnnnGˆ两算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这两个算符对易。一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这些算符相互对易。结论：（总结以上两定理）推广：（两个以上的算符）即：如果一组算符（……）有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。,Gˆ,FˆIˆ,Hˆ2.不同力学量取确定值的条件：若……等可对易，由以上定理知，这些函数有完全的共同的本征函数系{}，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态时，力学量有确定值，有确定值，…（按3.6节讲的基本假设）。于是会存在这样的态，在这些态中，，…代表的力学量可同时取确定值。,Gˆ,FˆIˆ,HˆnnFnGˆn,Gˆ,FˆIˆ,Hˆ结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。例如：①动量算符，，对易，则它们有完全共同的本征函数系{}，==，在这些态中，力学量同时都具有确定值；xpˆypˆzpˆpprpiAe)zpypxp(izyxAezyxp,p,pzyxp,p,p②氢原子的哈密顿算符和相互对易，则它们有完全的共同的本征函数系{}，在态中，同时具有确定值，依次为：。rer2Lˆ2pˆHˆ2s222rz2Lˆ,Lˆmnmnz2Lˆ,Lˆ,Hˆm,)1(,E2n解释：前面已证：[]=0z2Lˆ,Lˆ而且是关于，的微分算符，是关于的微分算符，2LˆzLˆ2222s22222e111[(r)(sin)]2rrrrsinrsinrrer2Lˆ2pˆHˆ2s222r所以：,。0]Lˆ,Hˆ[20]Lˆ,Hˆ[z说明：[]=0不一定是不同力学量同时具有确定值的条件。Gˆ,Fˆ实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学量可同时取确定值是两回事。例如：[]=0，则由定理知它们有完全的共同的本征函数系{}，由上面得的结论：在它们的本征态中，同时具有确定值。但在一般的态中，如=+()，有确定值，而无确定值。是度简并的，的本征态不一定都是的本征态。z2Lˆ,LˆmYmYz2Lˆ,Lˆm,)1(2YmYmY'mm2LˆzL2L122LˆzL三、力学量的完全集合为完全描述一个体系的状态所必须的力学量的集合叫力学量的完全集合。（广义）在经典力学中用完全描述质点三维运动状态，实际上为6个量，即：。一般说来，有个自由度的体系的态需有2个力学量来完全描述。p,rp,rxyzx,y,z,p,p,pNN定义：在量子力学中，称能够完全描述体系状态、彼此独立、相互对易的最小数目的一组力学量算符所代表的力学量为力学量的完全集合。完全集合中力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等。例如：自由粒子(自由度为3)的运动状态用（）描述；pˆzyxpˆ,pˆ,pˆ氢原子中电子的自由度是3，完全描述它需要3个力学量或三个量子数。z2Lˆ,Lˆ,Hˆm,,n说明：一般说来，有个自由度的体系的力学量完全集合恰含个相互对易的力学量。力学量的个数比经典中减少一半的原因在于微粒具有波动性。例如知的分布，即可得到的分布，。NNprpdC)r(pp四、测不准关系（又叫不确定关系Uncertainty）(1927年)海森堡（Heseiberg1901－1976），德国人，提出微观世界的测不准原理，与波恩共创矩阵力学，获1932年诺贝尔物理学奖。若两算符不对易，则一般它们没有共同的本征态，即不可能同时具有确定值。一个确定（如自由粒子），另一个不确定（如），形成一种按可能值的统计分布；或二者均无定值，都形成按自己的可能值的一种统计分布（如谐振子原子中的电子的）。下面确定两个不对易的力学量的统计分布范围之间的一般关系——测不准关系（不确定关系）。prp,r[Gˆ,Fˆ]=kˆiFˆGˆGˆFˆ(1)dFˆF；dGˆG；dkˆkFˆ=FFˆ，Gˆ=GGˆ(2)1.一般数学推导关系：设是代表两力学量的厄米算符，且它们的对易关系为：Gˆ,Fˆ其中是厄米算符或普通的数。再设为归一化的波函数，则在态的平均值分别为:kˆˆˆˆF,G,k定义偏差算符：其中，都是厄米的。FˆGˆ)(I0=2ˆˆ(FiG)d(3))(I=d])GˆiFˆ[(])GˆiFˆ[(d)]Gˆ(i)Fˆ([])Gˆ(i)Fˆ([=)Gˆ()Fˆ(i)Fˆ()Fˆ([2d)]Gˆ()Gˆ()Fˆ()Gˆ(i）由（2d)Fˆ22（d])FˆGˆ()GˆFˆi（d)Gˆ2（考虑这样一个积分：（是实参数，积分区域是变量变化的整个空间）则：)(I=22)Fˆ(-]Gˆ,Fˆ[i+2)Gˆ((4)]Gˆ,Fˆ[=]GGˆ,FFˆ[=]Gˆ,Fˆ[]G,Fˆ[]Gˆ,F[+]G,F[=]Gˆ,Fˆ[kˆi而根据代数二次式理论可知，要使不等式)(I=k)Fˆ(22+2)Gˆ(0于是(4)可写为：又因为即成立，系数必须满足条件：此即为的测不准关系。Gˆ,Fˆ于是有：2k2)Fˆ(40