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第一节数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。一、数学起源时期二、初等数学时期三、近代数学时期四、现代数学时期1一、数学起源时期（远古——公元前5世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。2数学起源于四个“河谷文明”地域非洲的尼罗河；西亚的底格里斯河与幼发拉底河；中南亚的印度河与恒河；东亚的黄河与长江3当对数的认识(计数)变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。人类现在主要采用十进制，与“人的手指共有十个”有关。而记数也是伴随着计数的发展而发展的。4记数刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼骨上的刻痕。古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股数”及二次方程求解的记录。5捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）6莱茵德纸草书(1650B.C.)7莫斯科纸草书)(322babahv8古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”（马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年）（文达，1982年）93500..BC古埃及陶罐10西安半坡遗址中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。11半坡遗址陶器残片12半坡遗址房屋基础13埃及金字塔建于约公元前2900年的埃及法老胡夫的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。14中国的《周髀算经》（公元前200年成书）宋刻本《周髀算经》，（西周，前1100年）（上海图书馆藏）《周髀算经》中关于勾股定理的记载15二、初等数学时期（前6世纪——公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。161．古希腊（前6世纪——公元6世纪）毕达哥拉斯——“万物皆数”欧几里得——几何《原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密——三角学丢番图——不定方程17毕达哥拉斯——“万物皆数”毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们[数]之间的关系，于是拿了笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和。他很好奇，于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。18欧几里得-----《几何原本》19阿基米德——面积、体积阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期。有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水杠杆原理吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后的现在，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。”刚好海维隆王又遇到了一个棘手的问题：国王替埃及托勒密王造了一艘船，因为太大太重，船无法放进海里，国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船放进海里应该没问题吧？”于是阿基米德立刻巧妙地组合各种机械，造出一架机具，在一切准备妥当后，将牵引机具的绳子交给国王，国王轻轻一拉，大船果然移动下水，国王不得不为阿基米德的天才所折服。从这个历史记载的故事里我们可以明显的知道，阿基米德极可能是当时全世界对于机械的原理与运用，了解最透彻的人。20浮力原理的发现相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠在金冠并非全金，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施。一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”。(Eureka，意思是“我知道了”.Greek:εὕρηκα)。他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于他所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量等。2122阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大前期三大数学家．时间约当公元前300年到前200年，这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代”．23托勒密——三角学托勒密地理学托勒密世界地图(1486年的复制本24丢番图—不定方程墓志铭他的童年占一生的1/6，接着1/12是少年时期，又过了1/7的时光，他找到了终生伴侣。5年之后，婚姻之神赐给他一个儿子，可是儿子、运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去。这对他是一个沉重的打击。后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲，终于告别数学，离开了人世。另一种唯美版上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。25TheSchoolofAthensbyRaphael26柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构272．东方（公元2世纪——15世纪）1）中国西汉（前2世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算282930“中国古代数学第一人”刘徽（约公元3世纪）割圆术31祖冲之（429---500）圆周率32第24届“国际数学家大会”会标宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）33《周髀算经》中的“勾股定理”（约公元前700年）《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”34中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图3536宋元时期（公元10世纪——14世纪）宋元数学四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（约1202～约1261）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪末～14世纪初）天元术、正负开方术——高次方程数值求解；中国剩余定理——一次同余式组求解37秦九詔（429---500）数书九章38杨辉杨辉三角392）印度现代记数法（公元8世纪）——印度数码，有0，负数；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499年）开创弧度制度量婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世纪）算术、代数、组合学403）阿拉伯国家（公元8世纪——15世纪）花拉子米——《代数学》（阿拉伯文《还原与对消计算概要》）曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。阿布尔．维法奥马尔．海亚姆阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。41花拉子米当时阿拉伯天文学家和数学家工作的情景423．欧洲文艺复兴时期（公元16世纪——17世纪初）1）方程与符号意大利－塔塔利亚、卡尔丹、费拉里三次方程的求根公式法国－韦达引入符号系统，代数成为独立的学科43“算法家”与“算盘家”的比赛韦达442）透视与射影几何画家－布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇数学家－阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔3）对数简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。英国数学家－纳皮尔45中世纪油画46文艺复兴时代的油画47英国画家柯尔比泰勒博士透视方法浅说(1754)卷首插图（违反透视原理）48三、近代数学时期（公元17世纪——19世纪初）家庭手工业、作坊→→工场手工业→→机器大工业贸易及殖民地→→航海业空前发展对运动和变化的研究成了自然科学的中心→→变量、函数1．笛卡尔的坐标系（1637年的《几何学》）恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”49解析几何是代数与几何相结合的产物在《几何学》里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的途径：（1）通过计算来解决曲线作图的几何问题；（2）求给定某种几何性质的曲线的方程；（3）利用代数方法证明新的几何定理；（4）反过来，从几何的观点来看代数方程。因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，用代数方法研究几何对象。在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何则使代数获得更广的意义和更高的地位。50２．牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求面积和体积的问题。51３．微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界限。微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的得力工具。524．代数基本定理（1799年）这一时期代数学的主题仍然是代数方程。18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重要意义的“代数基本定理”的第一个证明。该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有n个根。53“分析”、“代数”、“几