理论力学全部教程

理论力学第一部分静力学理论力学第一部分静力学•引论刚体静力学(staticsofrigidbodies)研究刚体(rigidbody)在力系的作用下相对于惯性系静止的力学规律。(1)力学模型—刚体在力的作用下不变形的物体称为刚体。在实际生活中，完全不变形的物体并不存在，刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。吊车梁的变形•吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度δ一般不超过梁的跨度的1/500δ简化的条件除了要求物体的变形不大之外，更重要的是这种变形对我们所研究的问题的结果产生的影响要足够小。但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这样简化了。这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可简化为刚体。(2)力系作用于同一刚体的一组力称为力系(systemofforces)。—使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。F3F2F1F4MqABαFAxFAyFB平衡力系(forcesystemofequilibrium)(3)基本问题：●物体的受力分析；●力系的等效替换及简化；●力系的平衡条件及其应用。刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止状态，它也可能处于某种惯性运动状态。平衡条件(equilibriumconditions)—平衡力系所要满足的数学条件。1.工程力学教程(Ⅰ)范钦珊主编高等教育出版社（‘九五’国家级重点教材）2.理论力学(第三版)浙江大学理论力学教研室,高等教育出版社，1999（面向21世纪课程教材）参考书目1静力学基础1.2.3力系等效原理应用于变形体1.1力和力矩1.1.1力的概念1.1.2力对点的矩1.1.3力对轴的矩1.2力系等效原理1.2.1力系的主矢和主矩1.2.2力系等效原理1.3力偶与力偶矩1.4物体的受力分析1.4.1约束与约束反力1.4.2物体的受力分析1静力学基础1.1力和力矩1.1.1力的概念力是物体间的相互作用，作用结果使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。对刚体而言，力的作用只改变其运动状态。●力是矢量力的三要素(threeelementsofaforce)两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因而力是定位矢量(fixedvector)。FCCABFAF1○量度力的大小的单位,在国际单位制中用牛顿（N）千牛顿（kN）○力的作用线○力的作用点○力矢量的表示:F1、FA…○力矢量的模:F1、FA…1FAF、●作用力和反作用力力的另一重要性质是由牛顿第三定律(Newton’sthirdlaw)所描述的作用力和反作用力之间的关系，即:两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线，并分别作用在两个不同的物体上。F1F2●分布力(distributedforce)与集中力(concentratedforce)○分布力○集中力—集中作用于物体上一点的力.表面力(surfaceforces):连续作用于物体的某一面积上的力.体积力(bodyforces):连续作用于物体的某一体积内的力.分布力F1F2集中力ABCP实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力，一切真实力都是分布力。集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题的性质。●力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意它的符号。FFxiFyjFzkαβγxyzFFFFijkcoscoscosxyzFFFFFFFiFjFk二次投影法(secondprojection)γφFFxyxzy已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大小和它相对于各轴的方向余弦，即cos(,)/cos(,)/cos(,)/xyzFFFFFFFiFjFk1.1.2力对点的矩力矩(momentofaforce)是用来量度力使物体产生转动效应的概念。●力对点的矩的概念作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩定义为()=OMFrF式中O点称为矩心(centerofmoment)，r为矩心O引向力F的作用点A的矢径，即力对点的矩(momentofaforceaboutapoint)定义为矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。MO(F)通常被看作为一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O处，但这并不意味着O就是MO(F)的作用点。MO(F)=r×FhPlanedeterminedbyOandF力矩矢的三要素力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。MO(F)的大小即它的模式中θ为r和F正方向间的夹角，h为矩心到力作用线的垂直距离，常称为力臂(momentarm)。MO(F)的方向垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定。()sinOFrFhMFrF=平面问题平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成了代数量，且有●OFhr()OMFhF正负号通常规定为:+逆时针为正–顺时针为负●OFhMO(F)=±Fh平面问题—矢量表达式MO(Fxy)=(rxy×Fxy)·kzrxyFxyxyOkh●力对点的矩在坐标轴上的投影力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)。xyzFFFFijkxyzrijkFrxyzMO(F)Ojik()OMFrFxyzxyzFFFijk)()()zyxzyx(yFzFzFxFxFyFijk()()()OxzyOyxzOzyxM=yFzFM=zFxFM=xFyFFFF1.1.3力对轴的矩力对轴的矩(momentofaforceaboutanaxis)用来量度力对其所作用的刚体绕某固定轴转动的效应。zF矩轴(axisofmoment)OzzFFzFxy●力对轴的矩的概念空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩。hO()=()=xzOxyyMMFhFF作用于刚体的力F对z轴的矩定义为力对轴的矩是代数量。正负号的规定是按右手定则与z轴的指向一致时为正，反之为负。Mz(F)0Mz(F)0zz•当力的作用线与z轴平行(Fxy=0)或相交(h=0)时，或概括起来讲，当力与轴共面时，力对轴的矩等于零。力对轴之矩zOhFFzFxyrxyk矢量表达式()=()=()xzyxxOyyMMFFrFk●力对点之矩与力对轴之矩的关系zxyr=r+rzxyF=F+F力F对O点之矩MO(F)在z轴上的投影为：首先将力的作用点的矢径r和力F分解如下:()()OzMFrFk()()OzMFrFkMO(F)在z轴上的投影MOz(F)FrxyzMO(F)OkMOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)Ozxyzxyrr+rFF+F()()OzMFrFk即有则有MO(F)在z轴上的投影将上式右端展开，并注意到()[()()]zxyzzxyOMFrrFF+k+0zzrF()0zxyrFk()0xyzrFk()()OzMFrFk()xyxyrFk而另一方面力F对z轴之矩可表示为我们得到一个说明力对轴之矩与力对点之矩的关系的重要结论：力对任意轴之矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该轴上的投影。因此()=()=()xzyxxOyyMMFFrFk()=()zOzMMFF于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。()()()()()()xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFFOAxyzF3a例1.1长方体的上、下底为正方形，边长为，高为a，求图中力F对顶点O之矩。解：设沿各坐标轴的基矢量为i、j、k，则F的作用点A的矢径为OAxyzFr3()a=ri+j力F在坐标轴上的投影为=0xF32=sin=yFFF12=cos=zFFF故132()F+F=jk因此()OMFrF33312200aaFFijk3()a=ri+j332()Faijk例1.2园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于B点的力F对x、y、z轴以及OE轴之矩。OAxyzBEeCDF解：力F的作用点B的坐标为0,2x=r,y=z=r而666663,,xyzFFFFFFOAxyzBEeCDF于是F对各坐标轴之矩分别为根据()()()()()()xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFF由此即有0,2x=r,y=z=r666663,,xyzFFFFFF63Fr066Fr66()(2)OFrMFik()xzyMyFzFF()yxzMzFxFF()zyxMxFyFF设沿OE轴的单位矢为e，则有因此力F对OE轴之矩为66()(2)OFrMFik55(2)ejk()()OEOMFeMF3015FrOAxyzBEeCDF要点回顾■力的概念●力学模型—刚体●刚体静力学研究的基本问题●力是约束矢量●力系的概念●力在坐标轴上的投影■引论■力对点的矩●力对点的矩的概念●力对点的矩在坐标轴上的投影■力对轴的矩●力对轴的矩的概念●力对点之矩与力对轴之矩的关系静力学基础理论力学1.2力系等效原理1.3力偶与力偶矩1.2力系等效原理1.2.1力系的主矢和主矩●力系的主矢称为该力系的主矢量(principalvector)。FnF2F1Fi作用于某刚体上的若干个力F1,F2,…,Fn构成空间一般力系(threedimensionalforcesystem)，通常表示为（F1,F2,…,Fn）。这n个力的矢量和1Rnii=FF•力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投影的代数和注意力系的主矢仅涉及力系中各力的大小和方向，而与其作用点无关，故力系的主矢是一个自由矢量(freevector)，而不是一个力。RRRxixyiyzizFFFFFF●力系的主矩空间一般力系（F1,F2,…,Fn）中各力对某点O的矩的矢量和()=OOiiiMMFrF称为该力系对于矩心O的主矩(principalmoment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用点的矢径。主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表达式：即力系的主矩在通过矩心的任意轴上的投影等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和。()()()()()()OxOxxOyOyiiyOzOziiiziMMMMMMMMMFFFFFF力系的主矩MO是位于矩心O处的定位矢量，与力系的主矢不同，主矩与矩心的位置有关。因此，说到“力系的主矩”时，一定要指明是对哪一点的主矩，否则就没有意义。F3F2F1F4ABMA(Fi)MB(Fi)1.2.2力系等效原理•在刚体静力学中，如果两个不同的力系对同一刚体产生同样的作用，则称此二力系互为等效力系(equivalentforcesystems)。AqBL／2L／2ABL／2L／2P=qLFF•显然，等效力系的相互替换并不影响它们对刚体的作用。•与一个力系等效的力称为该力系的合力(resultantforce)，但并非任何一个力系都有合力。•因为完全不受力作用的刚体其运动状态是不会发生改变的，故平衡力系即是与零力系(nullforce-system)等效的力系。●力系等效原理两个力系等效的充分必要条件是主矢量相等，以及对同一点的主矩相等。力系等效原理(principleofequivalentforcesystems)实际上只是动量定理和动量矩定理的一个推论。但在讲述动力学的这些定理之前，在刚体静力学中我们也可以把它看成是一个基于经验事实的基本假设。力系等效原理是刚体静力学理论体系的基础，无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。力系等效原理表明，力系对刚体的作用完全取决于它的主矢和主矩，因此主矢和主