空间直角坐标系的建立的常见方法

第1页共4页一、空间直角坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系例1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；w_ww.k#s5_u.co*m例2、如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB=1，13ACAA，∠ABC=600.(Ⅰ)证明：1ABAC；（Ⅱ）求二面角A—1AC—B的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、利用线面垂直关系建系例3、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.DABCDMOABCCBAC1B1A1第2页共4页例4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。例5、如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．例6、如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝3．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．ACBPzxy第3页共4页三、利用面面垂直关系建系例7、如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．例8、在直三棱柱111ABCABC中，AB＝BC，D、E分别为11BBAC，的中点．（1）证明：ED为异面直线1BB与1AC的公垂线；（2）设12AAACAB，求二面角11AADC的大小．例9、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；例10、如图，直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB．（Ⅰ）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB与CD的夹角为45°，求二面角111AACB的大小．DBCASOyxz第4页共4页banab四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例11已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．（1）求∠DEB的余弦值；（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．二、求平面的法向量法向量的定义：如果向量a平面，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），且有无数条。方法：1、找现成的面的垂线；2、不定方程组法：设平面的法向量为(,,)nxyz，111222(,,)(,,)axyzbxyz和是平面内的2个相交向量，由00nanb可得一个含,,xyz的不定方程组，然后在,,xyz中任取一个好算的值（一般不能取0）即可得一个法向量n。3、矢量积法：111222ijknabxyzxyz=111111222222,,yzxzxyyzxzxy=122121121221(,,)yzyzxzxzxyxy注意：ab与,ab都垂直，并且按a，b，ab这个顺序构成右手系。