机械波 波动方程

大学物理学电子教案机械波、波动方程13-1机械波的基本概念13-2平面简谐波的波动方程第十三章机械波和电磁波波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.13-1机械波的基本概念一、机械波产生的条件波源介质+弹性作用机械波产生条件：1、有做机械振动的物体，即波源；2、有连续的介质—弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.(1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.特征：具有交替出现的波峰和波谷.如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波二、横波和纵波(2)纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。三、波线和波面*球面波平面波波前波面波线振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速1、波速uGu在固体媒质中纵波波速为Eu//G、E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些四、描述波动的几个物理量在液体和气体只能传播纵波，其波速为：Bu//B为介质的容变弹性模量为密度3、波长2、波的周期和频率21TuTu波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用表示。同一波线上相邻的位相差为2的两质点的距离。介质决定波源决定例1在室温下，已知空气中的声速为340m/s，水中的声速为1450m/s，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？1u2um7.1Hz200sm3401111um17.0212um25.7Hz200sm14501121um725.0222u在水中的波长解由，频率为200Hz和2000Hz的声波在u空气中的波长波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系),(txyy各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.平面简谐波：波面为平面的简谐波.13-2平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：tcosAy0y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标一、平面简谐波的波动方程p点的振动方程：cos()xyAtut时刻p处质点的振动状态重复xtu时刻O处质点的振动状态xypuOxO点振动状态传到p点需用uxt沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程xu沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动.为p点的振动落后与原点振动的时间时间推迟方法点P比点O落后的相位OpuxTuxxpπ2π2)(cosuxtAyp点P振动方程相位落后法沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程cos()xyAtuPx*yxuAAO)tcos(Ay00若波源（原点）振动初位相不为零])(2cos[0xTtAy])xtcos[Ay022])xut(cos[Ay02])xut(kcos[A00cos[()]xyAtu或2k波矢，表示在2长度内所具有的完整波的数目。质点的振动速度，加速度])(sin[uxtAtyv])(cos[222uxtAtya][0)uxt(cosAy1、如果给定x，即x=x0yOtTTx0处质点的振动初相为002x02x为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t))xtcos(A)t(y002若x0=则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志二、波动方程的物理意义波线上各点的简谐运动图2、如果给定t，即t=t0则y=y(x)221212xxx][00)uxt(cosAy表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差XYOux1x221212Tt)tt(同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志3.如x,t均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形][0)uxt(cosA)x(yxyuOxtttx][0)utuxtt(cosA)tt,xx(yt时刻的波形方程t+t时刻的波形方程][0)uxtt(cosA)x(yt时刻,x处的某个振动状态经过t，传播了x的距离][0)uxt(cosA)t,x(y)tt,xx(y在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x)t,x(y)tt,xx(yxyuOxtttx])(cos[0222uxtAty222022221])(cos[tyuuxtuAxy222221tyuxy][0)uxt(cosAy求t的二阶导数求x的二阶导数三、平面波的波动微分方程平面波的波动微分方程小结求解波动方程方法:1找任意一点的振动方程0x0cos()yAt2写出沿轴传播的波动方程x0cos(2)xxyAt沿轴传播x0cos(2)xxyAt沿轴传播x或cos[()]xyAtucos[()]xyAtu沿轴传播x沿轴传播x例1已知波动方程如下，求波长、周期和波速.)(]2.50[πcos05.0SIxty解：方法一（比较系数法）.)(π2cosxTtAy]222.50[π2cos05.0xty把题中波动方程改写成s8.05.22Tm00.21sm50.2Tu比较得1）波动方程2π例2一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求0tm0.2m0.1As0.2T0,0tyyv00xt解写出原点处质点的振动方程yAO0cos()yAt2/T01.0cos()2yt1.0cos(2)22xyt2）求波形图.(1.0sinπm)xs0.1tπ(1.0cos[π]2ym)x波形方程s0.1tom/ym/x2.01.0-1.0时刻波形图s0.1t1.0cos(2)22xyt3）处质点的振动规律并做图.m5.0x1.0cos[π]ytπ处质点的振动方程m5.0x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234******1234处质点的振动曲线m5.0x1.01.0cos(2)22xyt例3一平面简谐波以速度沿直线传播,波线上点A的简谐运动方程.s/m20u2310cos4πAyt1）以A为坐标原点，写出波动方程m10uTm1032As5.0T02310cos(42)()10xytmuABCD5m9mxo8m0cos(2)xxyAtABABxxπ2105π2ππB2310cos(4πBytπ)2310cos(42)()10xytπm2）以B为坐标原点，写出波动方程uABCD5m9mxo8m2310cos4πAyt3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程uABCD5m9mxo8m2(310)cos4πAymt点C的相位比点A超前2310cos[4π2π]CACyt213310cos[4π]5tπ点D的相位落后于点A29310cos[4π]5tπm102310cos[4π2π]DADyt4）分别求出BC，CD两点间的相位差π4.41022π2π2DCDCxxuABCD5m9mxo8m2310cos4πAytπ6.1108π2π2CBCBxxm101）给出下列波动方程所表示的波的传播方向和点的初相位.0x)(π2cosxTtAy)(cosuxtAy2）平面简谐波的波函数为式中为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为的两点间的相位差.)cos(CxBtAyCBA,,d)cos(CxBtAy)(π2cosxTtAyCπ2BTπ2CBTudCdπ2思考)π,(向x轴正向传播)π,(向x轴负向传播3）如图简谐波以余弦函数表示，求O、a、b、c各点振动初相位.)π~π(OyxuabcAAt=T/4t=0πo2πa0b2πcOyAOyAOyAOyA例4一平面简谐波以波速u=200m·s-1沿x轴正方向传播,在t=0时刻的波形如图所示。(2)求t=0.1s,x=10m处质点的位移、振动速度和加速度。u=200m·s-1t=0时波形(1)求o点的振动方程与波动方程；y123450.02o(m)(m)xAm4Hzu50420011002s解：(1)O点振动方程tAycos(2)t=0.1s,x=10m处质点位移速度加速度2100cos02.0t2)200(100cos02.0xty波动方程02)200(100cos02.0xty22)200(100sin10002.0xttyv02)200(100cos)100(02.0222xttyau=200m·s-1t=0时波形y123450.02o(m)(m)xm4小结1机械波1)产生条件2)描述波动的物理量2波动方程1)波动方程的推导2)波动方程的物理意义3)波动方程的求解(重点)作业习题册:17-24