数值分析在机械领域的应用

河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：211《机械运动的数值仿真》研究第一章机械运动的问题描述机械运动描述物理学里把物体位置的变化叫机械运动。如我们所知，力的作用效果有：改变物体的运动状态改变物体的形状改变物的运动状态大多会引起物体的位置变化，引起机械运动。改变物体的形状而不改变它的运动状态就叫是非机械运动中的一种。一、机械运动的相关简单概念1．机械运动在物理学中，把一个物体相对于另一个物体位置的变化称作为机械运动，简称运动。2．参照物要判断一个物体是否在运动，必须选择另一个物体作为标准，这个作为标准的物体叫做参照物。对于同一个物体的运动，选择的参照物不同，得出的结论也有可能是不同的。3．运动和静止的相对性自然界中一切物体都在运动，因为地球本身在自转，所以绝对静止的物体是不存在的。通常所描述的物体的运动或静止都是相对于某一个参照物而言的。二、机械运动的前沿科学—导弹的制导河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：212左图：从美国驱逐舰梅里尔号上发射的战斧巡航导弹右图：从美国核潜艇拉霍亚号上发射的战斧巡航导弹1导弹制导的一般原理在大气层内飞行的导弹，可由改变空气动力获得控制，有翼导弹一般用改变空气动力的方法来改变控制力。在大气层中或大气层外飞行的导弹，都可以用改变推力的方法获得控制。无翼导弹主要是用改变推力的办法来改变控制力，因无翼导弹在稀薄大气层内飞行时，弹体产生的空气动力很小。2导弹制导运动的控制理论(1)导弹所受的空气动力可沿速度坐标系分解成升力、侧力和阻力，其中升力和侧力是垂直于飞行速度方向的；升力在导弹纵对称平面内，侧力在导弹侧平面内。所以，利用空气动力来改变控制力，是通过改变升力和侧力来实现的。由于导弹的气动外形不同，改变升力和侧力的方法也略有不同。(2)以轴对称导弹为例来说明。轴对称导弹一般具有两对弹翼和舵面，在纵对称面和侧对称面内都能产生较大的空气动力。如果要使导弹在纵对称平面内向上或向下改变飞行方向，就需改变导弹的攻角a（导弹纵轴与速度方向之间的夹角），攻角改变以后，导弹的升力就随之改变。河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：213由此可以看出，要使导弹在纵对称平面内向上或向下改变飞行方向，就需要利用操纵元件产生操纵力矩使导弹绕质心转动，来改变导弹的攻角。攻角改变后，导弹的法向力也随之改变。而且，当导弹的飞行速度一定时，法向力越大，弹道倾角的变化率就越大，也就是说，导弹在纵对称平面内的飞行方向改变得就越快。同理，导弹在侧平面内的可改变的法向力为平面内的控制力：由此可见，要使导弹在侧平面内向左或向右改变飞行方向，就需要通过操作元件改变侧滑角β，使侧力z发生变化，从而改变侧向控制力。sincosyFYPG式中θ为弹道倾角，Y为升力导弹所受的可改变的法向力为：sinYPyN由牛顿第二定律、圆周运动律可得如下关系式：yFma2cosyvNGm式中v为导弹的飞行速度，m为导弹的质量ρ为导弹的曲率半径。作用在纵对称平面内的导弹受力图如图1.1所示。各力在弹道法线方向上的投影可表示为：sinzNZP河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：214显然，要使导弹在任意平面内改变飞行方向，就需要同时改变攻角和侧滑角，使升力和侧力同时发生变化。此时，导弹的法向力NX就是NY和NZ的合力。(如图1.2所示)三、运动中的导弹与火箭1火箭火箭与火箭武器：火箭是依靠自身动力装置（火箭发动机）推进的飞行器。火箭可根据不同的用途而装有各种不同的有效载荷，当火箭的有效载荷为战斗部系统时，就称之为火箭武器。火箭武器可分为两大类：一类称为无控火箭武器，如火箭弹，其飞行轨迹不可导引控制；另一类是可控火箭武器，其飞行轨迹由制导系统导引、控制。2火箭与导弹导弹：导弹是一种飞行武器，它载有战斗部，依靠自身动力装置推进，由制导系统导引、控制其飞行轨迹，并将其导向目标。显然，可控的火箭武器是导弹。但并不是所有的导弹都是可控火箭武器。主要是因为导弹的动力推进装置不一定是火箭发动机。依靠空气中氧助燃的喷气发动机或组合型发动机也河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：215可以作为导弹的动力装置（如大部分巡航导弹的动力装置为组合型发动机，且以喷气发动机为主）。不论导弹的动力装置是何种发动机，但导弹之所以称为武器，就是因为载有战斗部。基于前沿科学的启示与探索，我们从简单的机械运动开始分析，所以我们所要研究的就是小型飞行器的机械运动的数值分析。四、国外研究进展1768年欧拉首先提出了解初值问题的欧拉法，为提高阶数由龙格和库塔提出了龙格-库塔法，它是基于泰勒展开形式的单步方法。1883年由阿当姆斯基于数值积分得到的阿当姆斯外插与内插方法是一种多步法，这是构造数值方法的另一种途径，但通常利用泰勒展开的构造方法更具一般性，却他在构造多步法公式时可同时得到公式的局部截断误差，由于四阶显示龙格-库塔方法精度高且是自开始的，易于调节步长，且计算稳定，因此是计算机中数学库常用的算法。它的不足之处是计算量较大，且当f（x，y）的光滑性较差时，计算精度可能不如低阶方法。多步法和由它们形成的预测-校正公式，通常每步计算量较少，但它不是自开始的，需要借助四阶龙格-库塔法提供开始值。五、国内研究现状经过半个多世纪的努力，中国机械工业已经逐步发展成为具有一定综合实力的制造业，初步确立了在国民经济中的支柱地位。“八五”期间，中国共产党十四大明确提出要把机械工业、汽车工业建成国民经济的支柱产业。按照这一战略要求，原机械工业部会同原国家计划委员会制定了《机械工业振兴纲要》，经国务院批准颁布实施，要求用15年时间，到2010年基本实现机械工业的振兴，使之成为国民经济的支柱产业。“九五”期间，机械工业取得了长足的发展。突出表现在机械工业产值在全国工业中的比重超过25％，生产保持稳定增长，为国民经济提供了大量可靠装备；先进制造技术得到大量采用，同时在高新技术产业化方面取得重大进展；研制、制造重大、精密、成套装备的能力显著提高；全方位、多层次的对外开放格局基本形成，机械产品出口的迅速增长，有力地支持了机械工业乃至全国经济的发展；体制改革取得突破性进展，市场机制已在机械工业发展中起主导作用，以建立现代企业制度为目标的国有企业改革稳步推进，民营企业、乡镇企业成为机械工业发展的新兴力量。“十五”期间是机械工业历史上发展最快、变化最迅速的时期。整个行业发展成绩喜人，亮点频河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：216现：产出规模增长迅猛、发展环境显著改善、产业结构变化喜人、服务质量明显提高。多年来中国机械工业的高位运行，盈利能力的持续提升，为国民经济可持续发展和综合国力的提高作出了无可替代的贡献。因此，大力发展机械工业，用先进的机械设备去装备国民经济各部门，对促进中国国民经济和社会发展具有重大意义。2007年机械设备制造行业增长形势较好，投资继续保持较为快速的增长以及国民经济的结构调整、技术改造都对机械制造行业产生了大量的市场需求，为机械设备制造业的稳定增长提供了良好的产业环境。另外，“十一五”将为机械行业带来新的发展契机。众所周知，国家的每一个五年计划都涉及到许多大型工程的建设，而每项工程都将率先拿出接近10%的总投资额做设备投资，其中机械设备就是最为重要的设备投资之一。按照五年计划的一般规律，重大工程在2007年、2008年投资将会达到高潮。由于设备投资提前进行，因此机械行业就在固定投资增长高潮到来前提前进入辉煌期，即未来若干年将是传统机械行业高速发展期。两大行业拉动机械产品需求。从行业关联性来看，由于汽车和航天产业是与传统机械保持最为紧密的两大行业，这两大行业的高速发展必然直接带动传统机械的大幅增长。面对新的发展契机，中国机械企业应把握市场需求、行业发展趋势，抢占先机，制订未来的发展战略。六、数值分析方法的研究1、数值分析方法意义数学是一种工具，用于解决日常生活、工业工程上的相关问题。针对于数值分析中的数学方法，我们小组将主要内容概括分解，将使用到的方法进行对比分析。2、我们要求数值算法的稳定性排除病态算法的数值稳定性与病态问题：1）若某算法受初始误差或运算过程中的舍入误差影响较小，则称为数值稳定。2）若微小的初始误差都会对最终结果产生极大的影响，则称之为病态问题。3、数值分析主要部分。1各类插值方法我们讲过拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、样条插值。2函数逼近及拟合。3数值积分、欧拉法解常微分方程、龙格-库塔法解常微分方程、方程组。河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：217【1】插值对于牛顿插值相对于拉氏插值增加一个节点，所有的插值基本多项式要重新取、重新算.2而牛顿插值，节点增加，次数增加，即高次插值函数计算量大，有剧烈震荡，数值稳定性较差（例如龙格现象）；分段插值在分段点上仅连续（即函数值相等），但是有尖点，不光滑（尖点导数不连续）；样条函数可以解决以上问题：使插值函数既是低次阶分段函数，又是光滑的函数。【2】理解逼近问题与拟合问题：1）逼近问题：函数f(x)在区间[a,b]具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式φ（x）。插值问题与逼近问题的特点和区别：1）相同点：它们都是求某点值的算法。2）不同点：A，被插值函数是未知的，而被逼近函数是已知的。B，插值函数在节点处与被插值函数相等。而逼近函数的值只要满足很好的均匀逼近即可。C，求p(x)的方法不同。【3】Romberg（龙贝格）求积法和Gauss求积法的基本思想：(主要研究方法)1）复化求积公式精度较高，但需要事先确定步长，欠灵活性，在计算过程中将步长逐次减半得到一个新的序列，用此新序列逼近I的算法为Romberg求积法。2）对插值型求积公式，若能选取适当的xk.Ak使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为Gauss型。【4】Runge-Kutta方法的基本思想：借助于Taylor级数法的思想，将yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示为f在若干点处值的线性组合，通过选择适当的系数使公式达到一定的阶。第二章算法探索一、《常微分方程初值问题数值求解》方法1.《常微分方程初值问题数值求解》方法有多少？Euler方法、向后Euler方法、梯形方法、改进Euler方法、龙格-库塔方法河北联合大学2011级研究生学院：河北联合大学研究生院—机械工程学院班级：2011级研究生研5班专业：机制组号：2182.经典的《常微分方程初值问题数值求解》方法是什么方法？---Euler方法二、《常微分方程初值问题数值求解》方法哪个好？1.《常微分方程初值问题数值求解》的优缺点分析Euler方法计算简单但精度差；向后Euler方法与Euler方法误差相似；梯形方法比Euler方法精度高但算法复杂、计算量很大；改进Euler方法结合了Euler方法和梯形法的优点；2.最好的方法是？-------龙格-库塔方法第三章算法应用一、《龙格-库塔方法》方法怎么用？1.一般程序设计mathematic2.举例验证1)0()10(2)1.0()3(yxyxyyhKR步长解初值问题公式阶求解.2,,2,2,,,462131213