11机器学习综述

管窥机器学习邹博2014年10月18日2/60机器学习在具体学习机器学习的过程中，往往是因为推导造成的障碍了解基本的高等数学知识是必要的机器学习比想象中要简单的多举例：kNN用于分类、基本的聚类过程3/60本次目标了解机器学习中的相关基本概念和常用方法初步掌握极大似然估计、梯度下降法的一般性计算套路熟悉最小二乘法的目标函数建立和解决方案了解期望最大化算法（EM算法）的思路4/60若干概念交叉验证泛化能力VC维监督学习无监督学习强化学习5/60机器学习算法的分类监督K近邻回归SVM决策树朴素贝叶斯BP神经网络非监督聚类AprioriFP-growth6/60交叉验证交叉验证(Cross-validation)也称为交叉比对，主要用于建模应用中。在给定的建模样本中，拿出大部分样本进行建模型，留小部分样本用刚建立的模型进行预报，并求这小部分样本的预报误差，记录它们的平方加和。这个过程一直进行，直到所有的样本都被预报了一次而且仅被预报一次。把每个样本的预报误差平方加和，称为PRESS(predictedErrorSumofSquares)。交叉验证是常用的精度测试方法，其目的是为了得到可靠稳定的模型。例如10折交叉验证(10-foldcrossvalidation)，将数据集分成十份，轮流将其中9份做训练1份做测试，10次的结果的均值作为对算法精度的估计，一般还需要进行多次10折交叉验证求均值，例如：10次10折交叉验证，以求更精确一点。7/60交叉验证的形式Holdout验证通常来说，Holdout验证并非一种交叉验证，因为数据并没有交叉使用。随机从最初的样本中选出部分，形成交叉验证数据，而剩余的就当做训练数据。一般来说，少于原本样本三分之一的数据被选做验证数据。K-foldcross-validationK折交叉验证，初始采样分割成K个子样本，一个单独的子样本被保留作为验证模型的数据，其他K-1个样本用来训练。交叉验证重复K次，每个子样本验证一次，平均K次的结果或者使用其它结合方式，最终得到一个单一估测。这个方法的优势在于，同时重复运用随机产生的子样本进行训练和验证，每次的结果验证一次，10折交叉验证是最常用的。留一验证意指只使用原本样本中的一项来当做验证资料，而剩余的则留下来当做训练资料。这个步骤一直持续到每个样本都被当做一次验证资料。事实上，这等同于K-fold交叉验证是一样的，其中K为原本样本个数。8/60泛化能力概括地说，所谓泛化能力（generalizationability）是指机器学习算法对新鲜样本的适应能力。学习的目的是学到隐含在数据对背后的规律，对具有同一规律的学习集以外的数据，经过训练的算法也能给出合适的输出，该能力称为泛化能力。通常期望经训练样本训练的算法具有较强的泛化能力，也就是对新输入给出合理响应的能力。应当指出并非训练的次数越多越能得到正确的输入输出映射关系。算法的性能主要用它的泛化能力来衡量。9/60VC维对于一个分类H，我们定义它的VapnikChervonenkisdimension,记做VC(H)：指的是能够被H打散的最大集合的数目。打散：shatter如果H能够打散任意数目的集合，我们定义VC(H)=∞10/60VC维考虑如图所示，3个点的集合：11/603个点可完全分开(zerotrainingerror)12/60一个集合，不是所有NotethattheVCdimensionofHhereis3eventhoughtheremaybesetsofsize3thatitcannotshatter.Forinstance,ifwehadasetofthreepointslyinginastraightline(leftfigure),thenthereisnowaytofindalinearseparatorforthelabelingofthethreepointsshownbelow(rightfigure):13/60再次强调在VC维的定义下，为了证明VC(H)至少是d，我们只需要证明至少存在一个大小是d的集合是可以被打散的。如果对于任意的样本数，总能找到一个样本集，它能够被某分类H打散，则该分类H的VC维就是无穷大，这个分类H的学习性能也就是最好的。VC维反映了分类集的学习能力，VC维越大则学习机器越复杂（容量越大），遗憾的是，目前尚没有通用的关于任意分类集VC维计算的理论，只对一些特殊的分类集知道其VC维。例如在N维空间中线形分类器的VC维是N+1。14/60从下面几个问题入手机器学习k近邻向量距离聚类回归朴素贝叶斯微积分工具：最小二乘法、极大似然估计、梯度下降法15/60k近邻分类(属于有监督学习)16/60向量间相似度计算的方法欧式距离Pearson相关系数(Pearsoncorrelation)余弦相似度(cosinesimilarity)17/60k-均值聚类(属于无监督学习)创建k个点作为起始质心(如：随机选择起始质心)当任意一个点的簇分配结果发生改变时对数据集中的每个数据点对每个质心计算质心与数据点之间的距离将数据点分配到距其最近的簇对每个簇，计算簇中所有点的均值并作为质心思考：点的簇分配结果发生改变的标准如何判断？实践中可以选择误差的平方和最小更深层的问题：为何如此选择？18/60利用SSE进行聚类后处理SSE:SumofSquaredError误差平方和19/60二分k-均值聚类后的结果20/60线性回归y=ax+b21/60多个变量的情形考虑两个变量22/60最小二乘的目标函数m为样本个数，则一个比较“符合常理”的误差函数为：继续提问：如何解释和定义“符合常理”？23/60使用极大似然估计解释最小二乘24/60似然函数25/60对数似然26/60计算极大似然函数的最优解27/60最小二乘意义下的参数最优解28/60广义逆矩阵（伪逆）若A为非奇异矩阵,则线性方程组Ax=b的解为其中A的A的逆矩阵满足(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,x=A+b。A+叫做A的伪逆阵。1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵X，满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝I；④(XA)*＝I。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。在矛盾线性方程组Ax＝b的最小二乘解中,x=A+b是范数最小的一个解。在奇异值分解SVD的问题中，将继续该话题的讨论。bAx11AIAAAA11TTAAAA129/60用回归解决分类问题，如何？30/60最简单的例子：一维回归31/60Logistic函数32/60Logistic回归方程的建立33/60梯度下降34/60Logistic回归的过程描述假定有M个样本X，每个样本都是N维的。那么，设需要求的参数记做w，则w是N维向量。y=Logistic(Xw)上式就是要学习的目标函数。未知参数是N个实参数w。使用极大似然估计，能够建立关于w的方程。用梯度下降法，求该方程的梯度，设置合适的学习率α解这N个参数w。35/60贝叶斯准则条件概率公式P(x|y)=P(x,y)/P(y)P(x,y)=P(x|y)*P(y)P(y|x)=P(x,y)/P(x)P(x,y)=P(y|x)*P(x)则P(x|y)*P(y)=P(y|x)*P(x)从而：P(x|y)=P(y|x)*P(x)/P(y)分类原则：在给定的条件下，哪种分类发生的概率大，则属于那种分类。36/60Bayes的实例37/60后验概率c1、c2表示左右两个信封。P(R)，P(B)表示摸到红球、黑球的概率。P(R)=P(R|c1)*P(c1)+P(R|c2)*P(c2)：全概率公式P(c1|R)=P(R|c1)*P(c1)/P(R)P(R|c1)=2/4P(R|c2)=1/3P(c1)=P(c2)=1/2如果摸到一个红球，那么，这个信封有1美元的概率是0.6如果摸到一个黑球，那么，这个信封有1美元的概率是3/738/60朴素贝叶斯的假设一个特征出现的概率，与它相邻的特征没有关系（特征独立性）每个特征同等重要（特征均衡性）39/60以文本分类为例样本：1000封邮件，每个邮件被标记为垃圾邮件或者非垃圾邮件分类目标：给定第1001封邮件，确定它是垃圾邮件还是非垃圾邮件方法：朴素贝叶斯40/60分析类别c：垃圾邮件c1，非垃圾邮件c2词汇表：统计1000封邮件中出现的所有单词，记单词数目为N，即形成词汇表。将每个样本si向量化：初始化N维向量xi，若词wj在si中出现，则xij=1，否则，为0。从而得到1000个N维向量x。使用：P(c|x)=P(x|c)*P(c)/P(x)41/60分解P(c|x)=P(x|c)*P(c)/P(x)P(x|c)=P(x1,x2…xN|c)=P(x1|c)*P(x2|c)…P(xN|c)P(x)=P(x1,x2…xN)=P(x1)*P(x2)…P(xN)带入公式：P(c|x)=P(x|c)*P(c)/P(x)等式右侧各项的含义：P(xi|cj)：在cj(此题目，cj要么为垃圾邮件1，要么为非垃圾邮件0)的前提下，第i个单词xi出现的概率P(xi)：在所有样本中，单词xi出现的概率P(cj)：(垃圾邮件)cj出现的概率42/60EM算法的典型题目三硬币模型假设有3枚硬币，分别记做A，B，C。抛硬币过程中，这些硬币正面出现的概率分别是π，p，q。进行如下试验：先抛硬币A，如果正面朝上，则抛硬币B；如果反面朝上，则抛硬币C。抛完B或者C后，如果正面朝上，记为1，否则记为0；独立重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,11。试估计π，p，q的值。43/60EM的推导将观测变量记做Y，待估计参数记做θ(π，p，q)P(y|θ)=ΣzP(y,z|θ)=ΣzP(z|θ)P(y|z,θ)=P(z=0|θ)P(y|z=0,θ)+P(z=1|θ)P(y|z=1,θ)=πpy(1-p)1-y+(1-π)qy(1-q)1-y应用极大似然估计P(Y|θ)=Ππpyi(1-p)1-yi+(1-π)qyi(1-q)1-yi44/60别忘了机器学习的第一步：建模皇帝不是穷人，在守财奴之中也有穷人，所以，有一些_______并不是_______。45/60使用离散数学分析该题目p：这个人是皇帝q：这个人是穷人r：这个人是守财奴皇帝不是穷人：p→~q在守财奴之中也有穷人：ョx(x∈r^x∈q)46/60分析过程r：这个人是守财奴p：这个人是皇帝有一些守财奴并不是皇帝。47/60这部分的参考文献Prof.AndrewNg,MachineLearning,StanfordUniversity高等数学，高等教育出版社，同济大学数学教研室主编,1996MiaHubert,PeterJ.Rousseeuw,KarlienVandenBranden,ROBPCA:aNewApproachtoRobustPrincipalComponentAnalysis,October27,2003(PCA)(泛化能力)(核回归)(VC维)(SVM)htt