(完整)初三数学相似三角形专题练习

初三数学相似三角形专题（分层适用）一、圆中相似三角形的判定例1．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．例2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意，找出图中各对相似三角形，并加以证明．变式：1．如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A，B点，弦AC∥PM，连接OM、BC.求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2＝OP•BC．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF＝DF•FE．变式：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.三、利用圆中相似进行计算例4、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：AB=2BC；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.ACBDEO·变式1：如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．变式2：如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若21OCDCEFSS△△，且AC=4，求CF的长.四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用例5、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.变式1：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．五、巩固练习，当堂反馈1．正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为．第1题2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．3．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．4．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．5．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：2AEACEC．7．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．8．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtRtABMMCN△∽△；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN△∽△，求x的值．9．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F；（1）求证：FD2=FB·FC；（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．