凸几何分析简介

2020/9/301凸体几何中的极值问题冷岗松上海大学数学系2006.04.072020/9/302最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而困难的部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大有前途的。陈省身在庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年之际，以《中国的数学》为题发表的讲演.2020/9/303一.学科介绍:•凸体的Brunn-Minkowski理论.•Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论.•Lp-Brunn-Minkowski理论.•几何断层学(GeometricTomography).2020/9/304凸体的Brunn-Minkowski理论•凸体：中有非空内点的紧致凸集.•凸体的支撑函数：设K是中的一个凸体那么它的支撑函数定义为•凸体的Minkowski和：设K，L是中的凸体nR.},|,max{)(1nKSuKxxuuhnR)(),(uhuKhK}.,|{LyKxyxLK).()()(uhuhuhLKLKnR2020/9/305混合体积(Mixedvolume)•Minkowski定理：设为中的凸体，•设K，L是中的凸体，那么nR.)()();1,(lim0KVLKVLnKV.),()(1);1,(1nSLuKdSuhnLnKV....),...,(...)...(11111nnniiririiirrKKVKKViK0inR2020/9/306Steiner对称)()(uKVubK亮度函数(brightnessfunction)uKuuKKKSuSteiner对称与亮度函数2020/9/307投影体(ProjectionBodies)KKbh2020/9/308Aleksandrov投影定理对于原点对称的两个凸体K和L,1),(|21nSvKdSv|u(u)bK.LKu(u)b(u)bLKCauchy投影公式K的表面积测度2020/9/309Shephard问题•Shephard(1964)问:对于原点对称的凸体K和L,是否有•Petty和Schneider(1967)分别给出了否定的回答，并证明了当L为投影体或时结论成立.,()()?KLb(u)b(u)uVKVL2n2020/9/3010Shephard问题的一个反例•Petty和Schneider(1967)给出的一个反例.KL反例2020/9/3011Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论)()(uKVusK.LKu(u)s(u)sLKFunk截面定理:对于原点对称的星形体K和L,截面函数uKuSnKndvvn11)(112020/9/3012截面体(IntersectionBodies)KIKs2020/9/3013Lp-Brunn-Minkowski理论•设K，L是中的两个凸体，分别表示它们的支撑函数，则K与L的Lp-Minkowski组和定义为LKhh,).()()(uhuhuhLpKpLKpp•P-混合体积定义为.)()(),(limKVLKVLKVpop2020/9/3014•Lp面积测度(E.Lutwak，1993)设K，L是中的两个凸体，则上存在测度使得K与L的p-混合体积可表示为.),()(1),(1nSppLpuKdSuhnLKV1nS),(KSp•p-Minkowski问题：在上给定一个Borel测度，给出所需要满足的充分必要条件使得存在一个包含原点为内点的凸体且.),(KSp1nSKnR2020/9/3015平行X射线与点X射线(X-rays)如果已知一个平面凸体在四个方向上的平行X射线，那么这个凸体可以被唯一确定.(Gardner.andMcMullen,1980)如果已知一个平面凸体关于四个点(这四个点中的任意三点不共线)的点X射线，那么这个凸体可以被唯一确定.(Volčič,1986)KXuKuqpu2020/9/3016由亮度函数重构凸体Gardner和PeymanMilanfar给出的由亮度函数重构凸体的一个例子.001.01.05.02020/9/3017医学上的应用2020/9/3018二.我们近几年的主要结果•Schneider投影问题的一个修正形式.•关于体积差的Brunn–Minkowski不等式.•一个单形中锐二面角个数的最小值.•迷向体与Bourgain问题.•Aleksandrov定理的一种推广形式.•Loomis-Whitney不等式的推广.•对偶Lp-John椭球.2020/9/30191.R.Schneider投影问题•Schneider猜测(1982)：设K是一个原点对称的凸体，则比值1()1/()[],nVKnVK当K为超平行体时达到最大.•Schneider猜测是凸几何中的一个著名未解决问题,引发了大量的研究.2020/9/3020•N.S.Brannen(Mathematika,1996)举出反例，证明Schneider猜测不成立；•E.Lutwak,D.Yang和G.Zhang(Trans.Amer.Math.Soc.,2001)引进了新的仿射不变量，从而给出了修正形式的Schneider投影猜测.()UP2020/9/3021新的仿射不变量U(P)•如果P是中一个包含原点为其内点的凸多胞形，是它(n-1)维面的外法向量，是原点到对应面的距离，是对应面的面积，则U(P)定义为111...01().......nniinniiiinuuUPhhaan(2)nRn1,...,Nuu1,...,Nhh1,...,Naa()().UPVP•由U(P)的定义可知2020/9/3022Schneider猜想的修正版本Lutwak,Yang&Zhang(2001):如果K是中一个原点对称的凸多胞形，则12122()2,!()()nnnnVKnnUKVK(2)nRn等号成立当且仅当K是一个超平行体.2020/9/3023Lutwak,Yang&Zhang的一个公开问题猜测：如果K是中的一个原点对称的凸多胞形，是否成立11/()(!)(),nUPnnVP(2)nRn等号成立当且仅当P是一个超平行体?2020/9/3024•李康海2002年给出了这个问题平面情形的证明，即n=2时，上面的猜测成立.•2003年，当n=3并且“任何两个面法向量都线性无关”时，何斌吾和冷岗松给出了这个猜测的证明.这一结果被国际著名刊物Adv.Math.录用.Lutwak评价这是该领域的一个突破性的工作.•2004年年初，Adv.Math.杂志的审稿人将何斌吾和冷岗松的附加条件的结果推广到了n维空间.•从2003年到2005年，何斌吾和冷岗松通过不断的努力，彻底解决了这一猜想.最终的结果即将在Adv.Math.上发表.2020/9/3025Schneider投影问题的一个修正形式HeBinwu,LengGangsongandLiKanghai,Adv.Math.,inpress.何斌吾，冷岗松,李康海(2005):如果K是中的一个关于原点对称的凸多胞形，则11(1)/()2,()(!)nnnnnVKnUKn(2)nRn等号成立当且仅当P是一个超平行体.2020/9/3026关键的一个引理如果P是中一个原点对称的凸多胞形，分别是它的(n-1)维面的外法向量，给定，记(2)nRn1,...,Nuu1,...,NFF11{,...,}{,...,}jiiNuuuu(({0}))iiVVconvF1...0,(1),jiiuujn1...0().iikjkuuujVVPn•如果则2020/9/30272.关于体积差(volumedifferences)的Brunn–Minkowski不等式LengGangsong,Adv.Appl.Math.,32,2004,615-624.•Brunn-Minkowski不等式设K和L是中的两个紧的凸子集，则R.J.Gardner(Bull.Amer.Math.Soc.39,2002):它像一只大章鱼，它的触角几乎涉及数学的各个领域.111()()().nnnVKLVKVLnR等号成立当且仅当K和L是相似的。2020/9/3028•定理：设K和L是中的两个紧域，和是两个相似的紧凸子集，并且满足nRD'DLDKD',那么,))()(())()(())()((1'11'nnnDVLVDVKVDDVLKV等号成立当且仅当K和L相似并且)),(),(())(),(('DVLVDVKV为常数.2020/9/3029).()(),(DVKVDKDv),,(),());1,();1,(('1'DLDvDKDvDnDVLnKVnn•定义：设K和L是两个紧域，如果，则我们定义K和L的体积差函数为KD•定理：设K和L是中的两个紧域，和是两个相似的紧凸子集,并且满足,则nRD'DLDKD',等号成立当且仅当K和L相似并且)),(),(())(),(('DVLVDVKV为常数.2020/9/30303.一个单形中锐二面角个数的最小值LengGangsong,Proc.Amer.Math.Soc.,131(10),2003,3039-3042.•M.Klamkin证明对于任意给定的四面体,其中至少有三个锐二面角，接着他问对于任意的n维单形是否有类似的结论;•L.Pook猜测对于任意给定的n维单形,其中至少有n个锐二面角.2020/9/3031•定理：任给一个n维单形，在其所有的二面角中一定存在至少n个锐二面角，并且存在这样的n维单形，其中恰有n个锐二面角.上面的定理可等价的表述为•定理：任给一个n维单形，在其所有的二面角中一定存在至多[n(n-1)]/2个钝二面角，并且存在这样的n维单形，其中恰有[n(n-1)]/2个钝二面角.2020/9/30324.迷向体与Bourgain问题何斌吾，冷岗松，中国科学（A辑），35（4），2005，450-462.如果K是中一个体积为1且质心在原点的凸体，那么存在唯一的线性变换使得对任意有通常被称为凸体K的迷向常数.•问题：是否存在常数c(与维数n无关)使得对任意的凸体KnR,1)det(,1nSu.,22KKLdxuxKL?cLK2020/9/3033•J.Bourgain(1989-1990).log4/1ncnLK•Lutwak,Yang,Zhang(2000).2//1nLnK2020/9/3034•定理：设K是中一个质心在原点的体积为1的凸体，且)2/,2/1(212221nrrBrKBrnn，则,3212/1KnnLn左边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点，体积为1的椭球；右边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点，体积为1的超立方体或它的正交变换像.nR2020/9/3035•定理：设K是中一个质心在原点，且体积为1的凸体.如果至少存在一个单位向量使得则nR1nSu,2/1)(,2/1)(uhuhKK,321KL等号成立当且仅当K是一个质心在原点体积为1的超立方体或它的正交变换像.2020/9/30365.Aleksandrov定理的一种推广形式冷岗松，张连生，中国科学（A辑），31（3），2001，204-212.定理：设K是一个凸体，C是一个中心对称的凸体，且对任意的和任意给定的j成立1nSu),()(ujujCWKW)()(KWCWjj等号成立当且仅当K是C的一个平移.则有2020/9/3037在上面的定理中令j=0,即得