数字滤波器理论与设计

工程信号分析与处理专题讲座数字滤波器理论与设计|H(ejw)|10通带过渡带阻带cwrw2d1d-1w主要内容数字滤波器的基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计主要内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计1.数字滤波器的基本概念数字滤波器的定义：•输入输出均为数字信号•通过一定运算关系•改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的器件优点：高精度，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，可实现模拟滤波器没法实现的特殊滤波功能)(nx)(ny数字滤波器的分类：从适用范围角度分：经典滤波器：信号和干扰频带互不干扰（选频滤波器）现代滤波器：信号和干扰频带互相重叠（eg.维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等）从实现的网络结构分：无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器从功能上分：低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器全通滤波器从信号的处理作用上分：选频滤波器其他滤波器：微分器，希尔伯特变换器，频谱校正等滤波器)(ejwH)(ejwH)(ejwH)(ejwH0低通0高通0带通0带阻低通滤波器的技术指标：2010lg20|)(||)(|lg20)()1lg(20|)(||)(|lg20)(2/2:0dd--dBeHeHdBeHeHspjjsjjpcspspsp：阻带容限阻带内允许的最小衰减：通带容限通带内允许的最大衰减时当幅度为过渡带：阻带范围：通带范围：：阻带截止频率：通带截止频率数字滤波器的基本结构IIR的基本结构有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。（1）FIR的横截型结构（直接型）（2）FIR的级联型结构（3）FIR的线性型结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构FIR滤波器主要内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计系统的因果性和稳定性因果系统若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。非因果系统如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统数学描述：线性系统：满足叠加原理的系统（可加性，比例性）移不变系统Mnx|)(|若Pny|)(|则若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统数字滤波器是线性移不变系统m)-y(n)(y(n))(-mnxnx设连续的函数x(t)可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为X(s)，连续时间x(t)经采样周期为T的采样器后，变成离散信号nTtnTxnxn--d序列的Z变换snTnstnstnenTxdtenTtnTxdtenTtnTxnx--------)()()()()()]([dd拉普拉斯变换:L令,其中z为一个复变量则广义上讲T=1sTez--nnznTxzX)()(--nnznxzX)()(离散信号的Z变换Z变换基本性质线性和位移性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权（Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理请同学们课后学习拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换时域：复频域：Laplace变换)(tx--dtetxsXst)()(jsf2js平面j0S平面0所以：Fourier变换频域：所以，傅里叶变换是S仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为：js0--dtetxjXtj)()(jsS平面0j得到：拉普拉斯变换对应连续信号Z变换对应离散信号TjTTjjeeerezw)(TjTjeerewTerTwsz与离散时间序列的傅里叶变换，DTFT平面0z平面0--nnjjsjrjenxeXffTerezw)()(/21zz]Im[z]Re[z]Re[z]Im[z1rLaplace变换Fourier变换连续时间信号--dtetxsXst)()(--dtetxjXtj)()(S平面0jS平面0jz变换Fourier变换离散时间信号--nnznTxzX)()(--nnjenTxjXww)()(平面0z]Im[z]Re[zz平面0z]Re[z]Im[z1r系统函数系统函数定义为：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii-------一般111110)1()1(1)(系统函数和差分方程的关系常系数线性差分方程的一般形式：若系统的起始状态为零，直接对上式求z变换：--MmmNkkmnxbknya00)()(--MmmmNkkkzXzbzYza00)()(23所以有：将上式进行因式分解得：使分子多项式=0的的Zeros(零点)使分子多项式=0的的Poles(极点）---NiiiMiiizbzazH101)(0id0ic)(zH)(zH----NiiMiizdzcAZH1111)1()1()(系统频率响应的意义为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的稳态响应，这就是系统的频域表示法。jnmjnjmmmynhmeehme----则：-nenxnj,)(w当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指数序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。系统的频率响应--nnjjjnjenheHeHeny)()()()()(wjeH表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。H(z)的极点：单位圆内--|)()()()()()(|)(|1*2　　　　Re[]zIm[]jz01a-a*a*1/aRe[]zIm[]jz01a-a*a*1/a相位响应：wwwwjjjjezjjjejjjejjjjjjjjejjjzHzHjeHeHjeeeHeHeeHeHeHeHeeHjeHeeHeH--])()(ln[21])(ln[21)()(|)(|)(})](Re[)](Im[arctan{)()](Im[)](Re[|)(|)(1*)(2*)(*)(相位响应：位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2p位于单位圆外的零/极矢量角度变化为0Re[]zIm[]jz002,w2w当Re[]zIm[]jz----NkkimiMmiMNdeceAeH11)(]arg[]arg[)(arg令：单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po则：----NkkimiMmiMNdeceAeH11)(]arg[]arg[)(argioppNiiipmMNAeHww22)(2)(arg2--全部极点在单位圆内：po=0，pi=N因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：2）全部零点在单位圆外：0,iommM为最小相位延时系统为最大相位延时系统相位延时系统,1zrrn0时，h(n)=0iiipmMNAeHww22)(2)(arg2--22imM-20om-,0iomMmarg[]0arg[]2M-0,iommM非因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：2）全部零点在单位圆外：全部极点在单位圆外：po=N，pi=0为最大相位超前系统为最小相位超前系统相位超前系统n0时，h(n)=0,1zrriiipmMNAeHww22)(2)(arg2--22()0imNM-,0iomMmarg[]2N0,iommMarg[]2()NM-最小相位延时系统的性质1）在相同的系统中，具有最小的相位滞后2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在相同的系统中，唯一3）最小相位序列的最大：22min00()()mmnnhnhn1mN-1122min00()()NNnnhnhn--min(0)hmin(0)(0)hh()jHewmin()hn()jHew群延时响应：相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内，则为线性相位滤波器。wwwwjezjjzHdzzdHzdede--)(1)(Re)()(常数)(wje主要内容数字滤波器简介数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计--NiNiiiinybinxany01)()()(数字滤波器的数学描述：1)差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii-------一般111110)1()1(1)(2)系统函数数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计三个步骤:(1)按要求确定滤波器的性能参数；(2)用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求；(3)用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。数字滤波器设计方法IIR滤波器：1.零极点位置累试法。2.用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。3.直接在频域或时域中进行，需要计算机辅助FIR滤波器：1.窗函数法2.频率采样法3.切比雪夫等波纹逼近法IIR数字滤波器设计方法IIR数字滤波器设计方法-------NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1()1(1)(IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为系统函数的设计就是要确定系数，或者零、极点，以使滤波器满足给定的性能要求。ibiaicid这种设计一般有3种方法。1.零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用于简单滤波器。2.用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。——脉冲（冲激）响应不变法——双线性变换法3.用计算机辅助设计，优化技术设计。冲激响应不变法变换原理数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t))()(nTThnhaT—抽样周期)(txa)(tya)(tha)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nTThnha对于一个线性时不变的因果的模拟系统，其输入输出关系为：wddhtxthtxtyaaaaa-00)()()()()()()()()(])()()()()0()([])()2()()0([)(limlimlimlim00000tykThkTtxTkThkTtxThTtxhtxTkTTTTtyTTkaaTaaaaaaTTa---)()()(waahtx-其中该积分即为τ≥0区间曲线ω(