数字滤波器设计..

第六讲数字滤波器设计浙江大学光电信息工程学系胡慧珠[e-mail]预备知识IIR滤波器设计双线性变换低通IIR滤波器设计高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计IIR滤波器的谱变换FIR滤波器设计基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计数字滤波器的计算机辅助设计用Matlab进行数字滤波器设计主要内容确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数。FIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。在设计数字传输函数G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑：分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。7.1预备知识)(jeGc11+p1-psps低通数字滤波器的典型幅度指标7.1.1数字滤波器指标数字滤波器指标通带0pppjpforeG,1)(1阻带sssjforeG,)(p:通带截止频率s:阻带截止频率p:通带峰值波纹s:阻带峰值波纹p:峰值通带波纹s:最小阻带衰减dBpp)1(log2010dBss10log2011/A211cps)(jeG归一化的数字低通滤波器幅度响应指标最大通带衰减:dB)1(log20210maxpp2)21(log2010max设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分别为通带和阻带截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：TFFFFTpTpTppp22TFFFFTsTsTsss22两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数(1)psk对低通滤波器12(1)1kA2*()()()()()()sjHjHjHjHjHjHsHs幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。在多数情况下，FIR滤波器的阶数NFIR显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR。NFIR/NIIR通常为10的量级或更高.IIR滤波器通常计算更简便。在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。7.1.2滤波器类型的选择IIR滤波器设计:在设计IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波器传输函数G(z)将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。7.1.3数字滤波器设计的基本方法FIR滤波器设计:FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需加上线性相位的条件限制一个N+1阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应的N+1个采样点来实现两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样法一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤波器的阶数2/)(6.1413)(log2010psspN2/)(22.0)(log2010pssN2/)(2794.5)(log2010pspN对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通带宽度较宽的FIR滤波器这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。7.1.4滤波器阶数估计IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方便又准确。2）计算机辅助设计——最优化设计法7.2IIR滤波器设计由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；2、模拟低通滤波器设计；（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法和脉冲响应不变法）IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计IIR滤波器最简单的一种近似方法。基本思路：将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时间滤波器的单位脉冲响应。即：h[n]=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此处的Td是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的采样周期T，尽管经常会取相同的值。证明：离散时间滤波器频响与连续时间滤波器频响之间的关系为：由于Hc(jΩ)=0,|Ω|≥π/Td，则有：kddcjkTjTjHeH)2()(||),()(dcjTjHeH脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：NkkkcssAsH1)(所对应的时域脉冲响应是：.0,0,0,)(1tteAthNktskck对Tdhc(t)采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：NknTskdNknTskddcdnueATnueATnThTnhdkdk11][)(][)(][离散时间滤波器的系统函数为：11()1kdNdksTkTAHzez脉冲响应不变法的几个要点•由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了比例系数Td，其与z变换过程相同，所以这种方法有叫做常规z变换法•对比Hc(s)和H(z)可以知道，连续时间滤波器的极点按照的关系映射成z平面的极点，但零点一般需要重新计算•脉冲响应不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法是提高技术指标。•因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤波器。kdsTkze脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标：•3dB带宽的截止频率ωc=0.2π•30dB阻带边界频率ωs=0.5π•采样周期Td=10πμs第一步：将给定指标按照Ω=ω/Td转换为相应的连续时间低通指标；得到：sradksradksc/50)1010/(5.0/20)1010/(2.066第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；得到：77.35.2lg6.31lg)lg()lg(6.31)1lg(10301)1lg(10322sspNAA例(续)取N=4。四阶归一化Butterworth低通滤波器传递函数为：)18477.1)(176537.0(1)(22sssssHc第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；即：)()(ccsHsH第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。得：21121131317.008704.11)40981.084776.1)(10/(61823.031495.11)88482.084776.1)(10/()(zzzzzzzH将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数Ha(s)变换成一个数字传输函数G(z)，从而使z域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。在这些变换中，更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的IIR数字滤波器。7.2.1IIR滤波器设计的双线性变换法双线性变换法(Bilineartransformation)：是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。)11(211zzTs双线性变换定义：2121TsTsz以上变换是一个一一映射，它将s平面上的一点映射为z平面上的一点，或将z平面上的一点映射为s平面上的一点。数字传输函数G(z)和原型模拟传输函数Ha(s)之间的关系为:)11(211)()(zzTsasHzG双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一种变换。参数T表示数值积分的步长双线性变换的推导（梯形积分）tdxty0)()(]}1[][{2]1[][nxnxTnynynTTnTnnTdxdxdxnTy)1()1(00)()()()(2))1(()()()()()1(00TnxnTxTdxdxnTyTnnT)11(21)(11zzTzHssH1)(双线性变换主要用在:用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数G(z)参数T对G(z)的表达式没有影响,可以选择T=2来简化设计的过程sszzzs1111112200002002200001()(1)()2221()(1)()222TTTjsjzzTTTj00()1z虚轴（单位圆）001z001z0jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：令：jezjs,2tan()2122tan()12jjejjTeTT双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。T1.临界频率预畸变ωΩ2.Ω模拟原型滤波器Ha(s)3.Ha(s)G(z)数字滤波器设计思路：)2tan(2T)(jHa)(jeH稳定性不变，但形状发生变化映射高度非线性，由此引起的频率轴失真称为频率畸变例:模拟滤波器传输函数为11ppssH-3dB频率为2000弧度/秒(318.31Hz)，求对应的数字滤波器传输函数，采样率为1500Hz20002000ssH12000/12H2*()()()()()()sjHjHjHjHjHjHsHs（）11121110.412000110.2300020001zsTzzHzHszzz0.4110.2jjjeHee频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的畸变造成的。畸变误差可以通过对-3dB频率的预畸变来克服。二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为202202)(BssssHa222022220)()(BjHa11211()()zasTzG