人教A版高中数学必修5《一章-解三角形--1.2-应用举例--阅读与思考-海伦和秦九韶》示范课件-2

人教版普通高中课程标准实验教科书必修51.2应用举例—海伦和秦九韶第一章解三角形一、问题引领，师生探究问题我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少？转化为数学语言为下列图形你能用已学的知识解决这个问题吗？另解：利用公式()()()Sppapbpc，其中2abcp海伦(Heron):古希腊的数学家,著作《测地术》、《测量仪器》和《度量术》等。方法：余弦定理+面积公式1sin2SacB介绍：在历史上，公式()()()Sppapbpc叫做海伦公式，形式漂亮，便于记忆.古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展。三角术的发展是由于人们建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历，航海和研究地理而产生的.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积。据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式：()()()Sppapbpc，其中2abcp，但现在人们常常以古希腊的数学家海伦(Heron)命名这个公式，称此公式为海伦公式。古希腊数学文化海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。在我国历史上，1247年前后，南宋著名的数学家秦九韶（约1202—1261）在所著的《数书九章》中给出了另一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积术，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.三斜求积术就是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之.为实：一为从隅，开平方得积.”即：其中，大、中小分别表示三角形条边长，即a，b，c.用现代公式表示即为：2222221[()]42acbSac2222221[()]42S大小中小大二、传统文化，增强自信秦九韶（1208年－1268年），字道古，生于普州安岳（今四川省安岳县），祖籍鲁郡（今河南范县）。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后在湖北、浙江等地做官。他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祐四至七年（1244－1247），写成了闻名的巨著《数书九章》。我国古代传统数学文化《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书九章十八卷，分为九类，每类9题，共计81题。该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶的“大衍求一术”秦九韶的任意次方程的数值解领先英国人霍纳572年。秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。秦九韶的三斜求积术古希腊数学家海伦运用平面几何知识，证明海伦面积公式．中国古代数学家秦九韶只给出公式，用来解决一类问题的计算．你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的证明吗？三、师生探究，公式证明()()()Sppapbpc2222221[()]42acbSac证明：由余弦定理：222cos2acbBac22222111sin1cos12222acbSacBacBacac22222222222222111[()]44242acbacbacacacac即2222221[()]42acbSac.方法：利用余弦定理求出cosB，再根据1sin2SacB进行证明.ABabcC思考：除了1sin2SacB，我们还学习过哪些三角形面积公式？ABabcCDhx12S底高例题我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为2222221[()]42acbSac．若2sin4sinaCA，22()12acb，则用“三斜求积”公式求△ABC的面积.四、公式应用，体现价值【解析】根据正弦定理：由2sin4sinaCA得4ac，由22()12acb得2224acb，则1(164)34ABCS．变式1：在ABC中，若a+b=12，c=8，请用海伦公式求ABC面积的最大值.【解析】102abcp，12ab，()()()20(10)(10)Sppapbpcab52(10)(10)ab5[(10)(10)]85ab.当且仅当1010ab即ab时取等号。∴max85S.变式2：在ABC中，若2b，sin3sinCA，请用秦九韶公式（三斜求积术）求ABC面积的最大值.【解析】由sin3sinCa得3ac，2222222222221132[()][3()]4242acbaaSacaa4424222111[3(484)](84)(4)3444aaaaaa当24a即2a时，max3S.五、师生小结，体现人文海伦——秦九韶公式优秀传统数学文化海伦：古希腊数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等()()()Sppapbpc秦九韶：南宋著名数学家，代表作《数书九章》等三斜求积术2222221[()]42acbSac1、定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（）六、强化练习，融会贯通2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142cabSca.现有周长为225的ABC△满足sin:sin:sin21:5:21ABC，试用以上给出的公式求得ABC△的面积为.将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d是四边形的各边长，记()()()()Sppapbpcpd，这里2abcdp.七、思维深化，延伸探究问：这个公式对任意的四边形是否成立？谢谢大家！