!2014最少拍及无波纹最少拍系统设计原则+实例(超详细)+补充

最少拍（含无波纹最少拍）系统设计原则+实例（超详细）+补充（实践）昀少拍（含无波纹昀少拍）设计步骤：已知开环脉冲传递函数()Gz，根据对离散系统性能指标的要求，构造闭环脉冲传递函数()zΦ和误差脉冲传递函数()eΦz（且()1()eΦzΦz=−）；确定数字控制器脉冲传递函数()()()()cezGzGzzΦ=Φ，并加以实现。由此可见，问题归结为如何构造()zΦ和()eΦz。一、在昀少拍设计时()zΦ及()eΦz的选取应遵循下述原则：1）()eΦz的分子中必须包含1(1)mz−−因式（保证系统稳态误差为零）。[注]：1()(()1)meΦzzFz−=−，式中()Fz为不含1(1)z−−因子的待定的1z−的有限项多项式，一般取12()1...Fzazbz−−=+++。2）以1z−为变量的()zΦ展开式的项数应尽量少（保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统，即过渡过程时间最短）。3）()cGz应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数（即()zΦ的分母与分子阶次之差应大于、等于()Gz的分母与分子的阶次之差）。一般已知的()Gz这条都满足。4）()eΦz的零点必须包含()Gz中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）。5）()zΦ的零点必须包含()Gz中位于单位圆上及单位圆外的零点（保证控制器稳定）。6）()zΦ中必须包含()Gz中的纯延迟环节（保证控制器是物理可实现的）。二．昀少拍系统设计实例情况1（太简单）：假定()Gz无延迟，且不含不稳定零点和不稳定极点（即不含单位圆上和单位圆外的零极点（极点1,1iipz==除外）），且()Gz的分母多项式昀多比分子多项式高一次。在上述条件下构造()eΦz和()Φz时，只需考虑设计原则中的前三条即可（其实这里第三条也自动满足），故取1()(1)()meΦzzFz−=−，其中()1Fz=即可。下面就再这样的假设条件下，讨论昀少拍系统在不同典型输入作用下，数字控制器脉冲传递函数()cGz的确定方法。比如：单位阶跃输入：————————————昀少拍设计开始———————————当()1()rtt=时，有[]11()1()1RzZtz−==−。设111()(1)()1()1()eeΦzzFzzzΦzzΦ−−−=−=−=−=((]))1[eΦzFz=除稳态误差要求外没其取他要求，注：[注]：()zΦ除了要包含1z−无其他要求，故可由1()ezΦ−直接求得。则数字控制器脉冲传递函数11()()()()(1)()cezzGzGzΦzzGzΦ−−==−————————————昀少拍设计到此结束—————————[注]：几拍？看误差脉冲序列或者输出脉冲序列的Z变换。即：()()()1eEzΦzRz==123()()()CzzRzzzzΦ−−−==+++L根据Z变换的定义式00()(),()()nnnnEzenTzCzcnTz∞∞−−====∑∑知：(0)1,()(2)0eeTeT====L(0)0,()(2)1ccTcT====L昀少拍系统的单位阶跃响应曲线如图9.42所示。可见，昀少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入()1()rtt=，这样的离散系统称为一拍系统，其调节时间stT=。P524图9.42昀少拍系统的单位阶跃响应序列[注]：若输入为单位斜坡或单位加速度输入时方法一样，只是输入和()eΦz不同。情况2（必须熟练掌握）：若G(z)有延迟或含单位圆上和单位圆外的零极点。例:设单位反馈线性定常离散系统如下图所示。其中采样周期1Ts=。若要求系统在单位斜坡输入时实现昀少拍控制，试求数字控制器脉冲传递函数()cGz。r(t)c(t)-e*(t)e(t)10(1)ss+r(t)c(t)-e*(t)e(t)10(1)ss+1esTs−−()cGz解：1）系统开环脉冲传递函数为：[注]：()Gz中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条自动满足。2）【分析】：()Gz中的纯滞后环节1z−？---用()zΦ包含纯滞后环节来对消()Gz中在单位圆上的极点1(1)z−−？---用()ezΦ的零点来对消因为()rtt=，112()(1)TzRzz−−=−。设12121()(1)()(1)()1()eezzFzzzΦzzΦΦ−−−=−=−=−=[注]：()ezΦ既满足稳态误差为0，且正好补偿了()Gz在单位圆上的极点。这里试探先取()1Fz=（如果()1Fz=不满足后面的所有要求，则取有限项多项式12()1...Fzazbz−−=+++，但是，是逐项增加试探，一次增一项）。[注]：()zΦ除()Gz中的纯滞后环节1z−外无其他要求，故可由1()ezΦ−直接求得，结果可见()zΦ已含1z−(这是因为，1()(1)()meΦzzFz−=−，12()1...Fzazbz−−=+++，则1()ezΦ−一定可以含纯滞后环节1z−)。则1111()0.543(10.368)(10.5)()()()(1)(10.717)cezzzGzGzzzzΦΦ−−−−−−==−+[注]：若对()zΦ要求增多如下例，则不能直接由1()ezΦ−求出()zΦ。而是分别设计()ezΦ和()zΦ，并使其满足()1()ezΦzΦ=−。例9.23※已知系统结构图如图。其中开环脉冲传递函数为：1111110.5(10.05)()()()(10.112)(10.02511).zGzzzzzz−−−−−−−−−++=试设计()cGz在单位阶跃输入时实现昀少拍控制。解：[注]：()Gz中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条自动满足。【分析】：()Gz中的纯滞后环节1z−？---用()zΦ包含纯滞后环节来对消()Gz中在单位圆外零点1(11.2)z−+？---用()zΦ的零点来对消()Gz中在单位圆上的极点1(1)z−−？---用()ezΦ的零点来对消因为()1()rtt=，11()1Rzz−=−，则设111()(1)()(1)(1)eΦzzFzzaz−−−=−=−+（1）11()(11.2)zbzzΦ−−=+（2）根据()1()ezΦzΦ=−(3)[注]()ezΦ()zΦ应同时设计，并确保满足所有上述条件和（3）式。以下是根据具体设计的先后顺序对()ezΦ()zΦ设计的具体注释：[注]()ezΦ必须先包含1(1)z−−，这既满足稳态误差为0，又正好同时补偿()Gz在单位圆上的极点。[注]()zΦ中11(11.2)zz−−+必先包含()Gz的纯滞后环节1z−以及()Gz中在单位圆外有不稳定零点1(11.2)z−+。[注]试探先()1Fz=发现不满足后面的所有要求，故取1()1Fzaz−=+。这是因为，11()(11.2)zzzΦ−−+中必须有，而()1()ezΦzΦ=−，故11()(1)(1)eΦzzaz−−=−+。[注]：之所以11()(11.2)zbzzΦ−−=+增加这个系数b，是为了满足()1()ezΦzΦ=−等式两侧1z−和2z−系数分别相等。将（1）（2）代入（3）式，则12121.2(1)bzbzazaz−−−−+=−+（[注]：等式两侧1z−和2z−系数分别相等）10.5451.20.455baabab=−=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩于是：11()(1)(10.545)eΦzzz−−=−+11()0.455(11.2)zzzΦ−−=+1111()0.91(10.2)(10.015)()()()(10.05)(10.545)cezzzGzGzzzzΦΦ−−−−−−==++——————————————昀少拍设计结束—————————————问题：几拍？1()()()10.545eEzΦzRzz−==+分析：该昀少拍系统响应阶跃输入的调整时间为两拍。显然由于()Gz在单位圆外存在一个零点，使调整时间比典型昀少拍系统多一拍，这增加的一拍，是保证控制器()cGz稳定所必须的。Gc(z)G(z)R(z)+C(z)-应当指出，当开环脉冲传递函数()Gz中包含有单位圆上和单位圆外的零极点以及纯延迟时，应用1()(1)()meΦzzFz−=−选择()eΦz时，一般不能再取()1Fz=，而必须使()Fz的零点能补偿()Gz的单位圆上或单位圆外的极点。显然，在这种情况下，线性离散系统响应典型控制输入的调整时间长于相应典型昀少拍系统（如P525表9.4）的调整时间，从而变成次昀少拍或准昀少拍系统。三．无波纹昀少拍系统设计原则昀少拍系统对输入信号适应性差，在有限拍数后，只能作到采样时刻上无误差。由于昀少拍系统的输出在非采样时刻存在纹波，这是工程上所不容许的，应设法消除。无纹波昀少拍系统的设计要求是：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波。在无波纹昀少拍设计时，()zΦ及()eΦz的选取应遵循下述原则：1）()eΦz的分子中必须包含1(1)mz−−因式（保证系统稳态误差为零）。[注]：1()(()1)meΦzzFz−=−，式中()Fz为不含1(1)z−−因子的待定的1z−的有限项多项式，一般取12()1...Fzazbz−−=+++。2）以1z−为变量的()zΦ展开式的项数应尽量少（保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统，即过渡过程时间最短）。3）()cGz应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数（即()zΦ的分母与分子阶次之差应大于、等于()Gz的分母与分子的阶次之差）。一般已知的()Gz这条都满足。（4）()zΦ中必须包含()Gz中的纯延迟环节（保证控制器是物理可实现的）。（5）()eΦz的零点必须包含()Gz中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）。（6）()zΦ的零点必须包含()Gz的全部零点（保证控制器稳定，无纹波）。[注]：只有（6）区别于最少拍系统设计，其余同昀少拍系统的设计方法。四．无波纹昀少拍系统设计实例例9.25已知开环脉冲传递函数为111110.7173.68()()()(106)1.38Gzzzzz−−−−−−+=T=1秒，试设计()cGz。要求：1.在单位斜坡输入时实现无波纹昀少拍控制。2.在单位阶跃输入时实现无波纹昀少拍控制。()rt*()et()ct()cGz()Gs()Rs()Ez()Mz()Cs()Cz()Rz−解：[注]：()Gz中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条自动满足。【分析】：()Gz中的纯滞后环节1z−？---用()zΦ包含纯滞后环节来对消()Gz中在单位圆内的零点110.71(7)z−+？---用()zΦ的零点来对消()Gz中在单位圆上的极点（11z−−）？---用()ezΦ的零点对消1.单位斜坡输入：1）设计()cGz：()rtt=，则112()(1)TzRzz−−=−。根据无纹波昀少拍系统的设计原则，则设12121()(1)()(1)(1)eΦzzFzzaz−−−=−=−+（1）111()(10.717)()bzzzczΦ−−−+=+（2）根据()1()ezΦzΦ=−（3）[注]()ezΦ()zΦ应同时设计，并确保满足所有上述条件和（3）式。以下是根据具体设计的先后顺序对()ezΦ()zΦ设计的具体注释：[注]：()ezΦ必先包含12(1)z−−，这样既满足稳态误差为0，又同时抵消了()Gz中在单位圆上的极点。[注]：()zΦ中必先包含()Gz的纯滞后环节1z−以及()Gz中在单位圆内的零点110.71(7)z−+。[注]：之所以经试探昀终选定1()1Fzaz−=+，是因为11()(10.717)zzzΦ−−+中必须有，而()1()ezΦzΦ=−，故121()(1)(1)eΦzzaz−−=−+。[注]：之所以111()(10.717)()bzzzczΦ−−−+=+增加这项1()bcz−+，是为了满足()1()ezΦzΦ=−等式两侧1z−2z−和3z−系数分别相等。将（1）（2）代入（3）式，则123123(0.717)0.717(2)(21)bzcbzczazazaz−−−−−−+++=−+−−（[注]：等式两侧1z−2z−和3z−系数分别相等）故20.