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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=()A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-=cosA=,∴=-,∴-=-,∴×4=6,故选A.2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【答案】A【解析】∵cosC=2cos2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32.∴AB=4.3.(2018·全国3·理T9文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.【答案】C【解析】由S=absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,∴sinC=cosC,即C=.4.(2017·山东·理T9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【答案】A【解析】∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,∴2sinBcosC=sinAcosC,又△ABC为锐角三角形,∴2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2017·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理,得,即sinC=,所以C=,故选B.6.(2016·全国3·理T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.-D.-【答案】C【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cosA===-,故选C.7.(2016·全国3·文T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.【答案】D【解析】记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意,得S△ABC=a·acsinB,∴c=a.∴b2=a2+-2a·,即b=.由正弦定理,得sinA=.故选D.8.(2016·全国1·文T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.9.(2016·天津·理T3)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,∴AC=1.故选A.10.(2016·山东·文T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=()A.B.C.D.【答案】C【解析】由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcosA=2b2(1-cosA).由已知a2=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA.因为A∈(0,π),所以A=.11.(2015·广东·文T5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且bc,则b=()A.3B.2C.2D.【答案】C【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为bc,所以b=2.12.(2014·全国2·理T4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1【答案】B【解析】由题意知S△ABC=AB·BC·sinB,即×1×sinB,解得sinB=.则B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=1,此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=5,解得AC=,符合题意.故选B.13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m【答案】C【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan60°=60(m),DB=60×tan15°=60×tan(45°-30°)=60×=60×=(120-60)m.所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5【答案】D【解析】由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=.∴cosA=±.∵A∈,∴cosA=.∵cosA=,∴b=5或b=-(舍).15.(2013·全国2·文T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1【答案】B【解析】A=π-(B+C)=,由正弦定理得,则a=,∴S△ABC=absinC=×2×()×+1.二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为___________.【答案】【解析】∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c×=62,即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).∴a=2c=4.∴S△ABC=acsinB=×4×2=6.2.(2019·全国2·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.【答案】【解析】由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,∴B=.3.(2019·浙江·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.【解析】如图所示,设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=-α,在△BDC中,由正弦定理得=3⇒sinα=.在△ABD中,由正弦定理得=4⇒cosα=.由sin2α+cos2α==1,解得x1=-(舍去),x2=⇒BD=.在△ABD中,由正弦定理得⇒sin∠ABD=⇒cos∠ABD=.4.(2018·浙江·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=___________,c=___________.【答案】3【解析】由正弦定理,可知sinB=.∵a=b=2,∴B为锐角.∴cosB=.∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=7+4-2×2×=7+4-2=9.∴c=3.5.(2018·北京·文T14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=________;的取值范围是.【答案】(2,+∞)【解析】由余弦定理得cosB=,∴a2+c2-b2=2accosB.又∵S=(a2+c2-b2),∴acsinB=×2accosB,∴tanB=,∴∠B=.又∵∠C为钝角,∴∠C=-∠A,∴0∠A.由正弦定理得.∵0tanA,∴,∴=2,即2.6.(2018·全国1·文T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.【答案】【解析】∵bsinC+csinB=4asinBsinC,∴sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.又sinBsinC0,∴sinA=.由余弦定理得cosA=0,∴cosA=,bc=,∴S△ABC=bcsinA=.7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=,cos∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC=.8.(2017·全国3·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.【答案】75°【解析】由正弦定理得,即sinB=.因为bc,所以BC,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017·全国2·文T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.【答案】【解析】由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=.又因为B∈(0,π),所以B=.10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=___________.【答案】【解析】因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=,sinC=,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.又因为,所以b=.11.(2016·北京·文T13)在△ABC中,A=,a=c,则=.【答案】1【解析】由正弦定理知,即sinC=,又ac,可得C=,∴B=π-,∴b=c,即=1.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.【解析】如图.作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=,所以AB的取值范围为().13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=___________.【答案】【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得,即,所以sin∠ADB=,可得∠ADB=45°,则∠BAD=∠DAC=15°.所以∠ACB=30°,∠BAC=30°.所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=.由余弦定理,得AC==.14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一