(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析

1求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)xyabab右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围.例2已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc,若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF,则该椭圆的离心率的取值范围为21,1.xyOAF1F2P2二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例3已知12、FF是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,1)Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2Ｄ．2[,1)2xyOF1F23三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC的顶点B为椭圆12222byax)0(ba短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F)0,(c,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222byax)0(ba与直线01yx相交于A、B两点，且0OBOA（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.xyOABFMC4又0e1，∴e的取值范围是12，1.例7已知1F、2F是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，椭圆上一点P使9021PFF，求椭圆离心率e的取值范围.解析1：令nPFmpF21,，则anm2由21PFPF2224cnm22222224anmnmc即21222ace又12210ee六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B则2245tan21bbSPFF≤bcbcSBFF22121b≤c2b≤2c22ca≤2c222ace≥21故22≤e＜1七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设yxP,，由21PFPF得1cxycxy，即222xcy，代入12222byax得22222cbcax，2220bcx即222cac，22ace又1e122e八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系5解析4：21PFPF为直径的圆上点在以21FFP又P在椭圆上，222cyxP为圆与12222byax的公共点.由图可知222acbacb2222acca122e说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PFF最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222byax)0(ba当P与短轴端点重合时∠21PFF最大无妨设满足条件的点P不存在，则∠21PFF0902245sinsin001OPFac又10e所以若存在一点P则122e.xyOPF1F2xyOPF1F2B