函数的定义域和值域课件新人教A版

第二节函数的定义域和值域[备考方向要明了]考什么会求一些简单函数的定义域和值域.怎么考1.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.不等于零大于或等于0RR5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为．6．y＝tanx的定义域为．(0，＋∞){x|x≠kπ＋π2，k∈Z}7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．[题组自测]1．函数y＝xx－1＋x的定义域为()A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}解析：xx－1≥0x≥0⇒x≥1或x＝0.答案：C2．求函数y＝2x－x2ln2x－1的定义域．解：由2x－x2≥0，ln2x－1≠0，2x－1＞0，得0≤x≤2，x≠1，x＞12.∴函数的定义域为(12，1)∪(1,2]．3．求函数f(x)＝12－|x|＋x2－1＋(x－4)0的定义域．解：要使f(x)有意义，则只需2－|x|≠0，x2－1≥0，x－4≠0，即x≠±2，x≥1或x≤－1，x≠4，∴函数的定义域为{x|x－2或－2x≤－1或1≤x2或2x4或x4}．[归纳领悟]1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值构成的集合．2．实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式的意义，还要看其实际意义．3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系，进而求解．答案：C解析：由1－x≠0，1＋x＞0得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．2．(2011·广东高考)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)4．(教材习题改编)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为________．解析：由x－4≥0，|x|－5≠0∴x≥4且x≠5.答案：{x|x≥4且x≠5}[精析考题][例1](2011·江西高考)若f(x)＝112log2x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，＋∞C.－12，0∪(0，＋∞)D.－12，2[自主解答]由已知得2x＋10，12log2x＋1≠0，∴x－12，2x＋1≠1.即x－12且x≠0.C练习巩固1．(2011·台州一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，1)解析：函数有意义需满足2－x0，x－10，即1x2，所以，函数的定义域为(1,2)．答案：B【训练1】(2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为－12，12，求函数y＝fx2－x－12的定义域；(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．解(1)令x2－x－12＝t，知f(t)的定义域为t－12≤t≤12，∴－12≤x2－x－12≤12，整理得x2－x≥0，x2－x－1≤0⇒x≤0或x≥1，1－52≤x≤1＋52，∴所求函数的定义域为1－52，0∪1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．[冲关锦囊]求具体函数y＝f(x)的定义域函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图象法图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题由实际意义及使相应解析式有意义的x的集合二、函数的值域1．函数f(x)的值域是函数值y的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a＜0时，值域为．(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域为．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是．(7)y＝tanx的值域是.{y|y≠0}{y|y0}R[－1,1]R{y|y≥4ac－b24a}{y|y≥4ac－b24a}R从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；函数值域或最值的常用求解方法直接法（观察法）1．函数y＝1x2＋2的值域为()A．RB．{y|y≥12}C．{y|y≤12}D．{y|0y≤12}解析：∵x2＋2≥2，∴01x2＋2≤12，∴0y≤12.答案：D答案：A2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是()A．y＝lgxB．y＝(13)1－xC．y＝|x－1x|D．y＝1－2xB【解析】y＝(13)1－x＝3x－1＝13·3x0，即y＝(13)1－x的值域为R＋，其它都不符合．主要适用于可化为二次函数的函数，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，此时要特别注意自变量的范围；函数值域或最值的常用求解方法求二次函数在闭区间上的值域问题，一般利用配方法，并结合二次函数的图象，利用函数单调性求解，若函数或区间中含参数，则按区间端点与对称轴的相对位置分情况讨论．配方法【解析】由于y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，所以二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1.当x∈[－2，2]时，函数在x＝1时，取最小值4，在x＝－2时，取最大值13，故所求值域为[4，13]．求函数的值域．y＝x2－2x＋5，x∈[－2，2]；解析：∵x有意义，∴x≥0.∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5∴当x＝0时，ymin＝－5.答案：[－5，＋∞)若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是__________________．基本不等式法函数值域或最值的常用求解方法具有可用基本不等式求解形状特征的函数，常利用基本不等式a＋b≥2ab求函数值域，应用基本不等式求值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”．即：①a0，b0；②a＋b(或ab)为定值；③取等号条件a＝b.形如y＝cx2＋dx＋eax＋b或y＝ax＋bcx2＋dx＋e(a·c≠0)的值域常用基本不等式或判别式法求解(判别式要慎用)．求函数的值域：y＝x＋4x(x0)．解：∵x0，∴x＋4x＝－(－x－4x)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．∴y∈(－∞，－4]．∴函数有最大值－4，无最小值．解：函数定义域为{x|x∈R，x0且x≠1}．当x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1≥2log3x·1log3x－1＝1；当0x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1＝－[(－log3x)＋(1－log3x)]－1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求函数的值域：f(x)＝log3x＋logx3－1.解：y＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12.当且仅当x2＝1－x2,即x＝±22时，等号成立．又当x＝0或x＝±1时，ymin＝0.故所求值域为[0，12](注意等号成立的条件)．求函数的值域．y＝|x|1－x2.主要有三角代换、二元代换、整体代换等．用换元法时一定要注意新变元的范围；函数值域或最值的常用求解方法换元法若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则F(x)＝f(x)＋1fx的值域是()A．[12，3]B．[2，103]C．[52，103]D．[3，103]B【解析】令t＝f(x)，则t∈[12，3]，F(x)＝t＋1t∈[2，103]，故选B.法一：令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是(－∞，12]．求函数的值域：f(x)＝x－1－2x；法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f(12)＝12，即函数的值域是(－∞，12]．函数值域或最值的常用求解方法单调性求值域关键是熟悉基本初等函数的单调性，及熟练利用导数讨论函数的单调性，如y＝ax＋b＋dx＋e(a、b、d、e均为常数，且ad≠0)，看a、d的符号，若同号用单调性求值域，否则用换元法求值域；单调性法法一：容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f(12)＝12，即函数的值域是(－∞，12]．求函数的值域：f(x)＝x－1－2x；法二：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是(－∞，12]．解：由于x≥－1，又函数y＝x＋x＋1在[－1，＋∞)单调递增，故所求的值域为[－1，＋∞)．求函数的值域．y＝x＋x＋1；【解析】f(x)＝x－22＋12x－2＝12[(x－2)＋1x－2]，∵x≥52，∴f(x)≥12·2x－2×1x－2＝1.当且仅当x－2＝1x－2时，即x＝3时取到最小值，∴值域为[1，＋∞)．求函数的值域．y＝x2－4x＋52x－4(x≥52)；利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．cx＋dax＋b函数值域或最值的常用求解方法反函数法求函数的值域：y＝1－x21＋x2；解：y＝1－x21＋x2＝21＋x2－1，∵1＋x2≥1，∴021＋x2≤2，∴－121＋x2－1≤1，即y∈(－1,1]．∴函数有最大值为1，无最小值．导数法函数值域或最值的常用求解方法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定值域；主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)·x2＋b(y)·x＋c(y)＝0的函数y＝f(x)．在由Δ≥0且a(y)≠0,求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值．函数值域或最值的常用求解方法形如y＝a1x2＋b1x＋c1a2x2＋b2x＋c2(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．前提条件：函数的定义域应为R；分子、分母没有公因式．判别式法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．常用于解答选择题、填空题或探究解题思路．函数值域或最值的常用求解方法数形结合法[归纳领悟]函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．求函数值域或最值的常用方法：①观察法；②换元法；③配方法；④根据单调性，求出函数的值域；⑤不等式法；⑥导数法(导数部分深叙)；⑦判别式法；⑧数形结合法．注意：(1)“求值有法，法无定法”即求最值的方法多种多样，要根据实际情况选择恰当的方法来解决，不可生搬硬套．(2)求函数值域或最值，一定要注意到定义域的范围．(3)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的