2019-2020学年新教材高中数学章末综合测评2等式与不等式(含解析)新人教B版必修第一册

-1-章末综合测评(二)等式与不等式(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是()A.1a＜1bB.1a＞1bC．a＞b2D．a2＞2bC[取a＝2，b＝－12，满足a＞1＞b＞－1，但1a＞1b，故A错；取a＝2，b＝13，满足a＞1＞b＞－1，但1a＜1b，故B错；取a＝54，b＝56，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是()A．a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞aC.ab＞ab2＞aD.ab＞a＞ab2C[∵a＜0，b＜－1，∴ab＞0，b2＞1，∴1b2＜1.又∵a＜0，∴0＞ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.故选C.]3．不等式－x2－x＋2≥0的解集为()A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2≤x≤1}D．∅C[不等式－x2－x＋2≥0可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，所以－2≤x≤1，即解集为{x|－2≤x≤1}．]4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝()A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}B[由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]5．下列方程，适合用因式分解法解的是()A．x2－42x＋1＝0B．2x2＝x－3C．(x－2)2＝3x－6D．x2－10x－9＝0-2-C[C中方程化简后可以用因式分解法求解．]6．求方程组11x＋3z＝9，3x＋2y＋z＝8，2x－6y＋4z＝5的解集时，最简便的方法是()A．先消x得22y＋2z＝61，66y－38z＝－37B．先消z得2x－6y＝－15，38x＋18y＝21C．先消y得11x＋7z＝29，11x＋3z＝9D．得8x－2y＋4z＝11，再解C[第一个方程中没有y，所以消去y最简便．]7．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是()A．m＞5或m＜－3B．m≥5或m≤－3C．－3≤m≤5D．－3＜m＜5D[依题意有(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]8．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k的值是()A．1B．2C．3D．4B[∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝6k＝3，解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．]9．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是()A．200台B．150台C．100台D．50台B[要使生产者不亏本，则应满足25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]10．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜b-3-C．a＜ab＜b＜a＋b2D．a＜b＜a＋b2＜abB[因为0＜a＜b，所以由均值不等式可得ab＜a＋b2，且a＋b2＜b＋b2＝b，又a＝a·a＜a·b，所以a＜ab＜a＋b2＜b.]11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．a＋b＋c≤3C.1a＋1b＋1c≤23D．(a＋b＋c)2≥3D[由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A错；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝33，则ab＋bc＋ca＝1，但1a＋1b＋1c＝33＞23，故C项错误．]12．若x＞1，则4x＋1＋1x－1的最小值等于()A．6B．9C．4D．1B[由x＞1，得x－1＞0，于是4x＋1＋1x－1＝4(x－1)＋1x－1＋5≥24＋5＝9，当且仅当4(x－1)＝1x－1，即x＝32时，等号成立．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组ax＋by＝2，bx＋ay＝7的解集，则(a＋b)(a－b)＝________.－15[∵{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组ax＋by＝2，bx＋ay＝7的解集，∴2a＋b＝2，2b＋a＝7，解得a＝－1，b＝4，∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(－∞，m)∪(1，＋∞)，则m＝________.－3[由已知可得a＜0且1和m是方程ax2－6x＋a2＝0的两根，于是a－6＋a2＝0，解得a＝－3，代入得－3x2－6x＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m＝－3.]-4-15．若关于x的不等式组x－1＞a2，x－4＜2a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－1,3)[依题意有x＞a2＋1，x＜2a＋4，要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．[9，＋∞)[∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，∴ab－2ab－3≥0，即(ab－3)(ab＋1)≥0，∴ab－3≥0，即ab≥3，∴ab≥9.]三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．(1)－4＜－12x2－x－32；(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.[解](1)原不等式可化为12x2＋x＋32＜4，化简，得x2＋2x－5＜0.因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，开平方，得|x＋1|＜6，解得－6－1＜x＜6－1.所以原不等式的解集为{x|－6－1＜x＜6－1}．(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，解得－23≤x≤4，所以原不等式的解集为x－23≤x≤4.18.(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．[解]由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1.∵x，y为正实数，∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy-5-＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×4yx·xy＝18，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时，取等号．又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.[解](1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．①当a＝0时，1≥0恒成立；②当a≠0时，则a0，Δ＝4a2－4a≤0，解得0a≤1.综上，a的取值范围为0≤a≤1.(2)由x2－x－a2＋a0得，(x－a)[x－(1－a)]0.因为0≤a≤1，所以①当1－aa，即0≤a12时，ax1－a；②当1－a＝a，即a＝12时，x－1220，不等式无解；③当1－aa，即12a≤1时，1－axa.综上所述，当0≤a12时，解集为{x|a＜x＜1－a}；当a＝12时，解集为∅；当12a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}．20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．-6-[解](1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.由题可知x1＋x2＝2a6－a，x1x2＝aa－6.∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，∴aa－6＝4＋2a6－a，解得a＝24.经检验，符合题意．∴存在实数a，a的值为24.(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝2a6－a＋aa－6＋1＝－6a－6.∵－6a－6为负整数，∴整数a的值应取7,8,9,12.21．(本小题满分12分)已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．[解]法一：由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系得ba＝－α＋β＜0，①ca＝αβ＞0，②∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋bcx＋ac＞0.①÷②，得bc＝－α＋βαβ＝－1α＋1β＜0.由②得ac＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x2＋bcx＋ac＞0的解集为xx＜1β或x＞1α，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为xx＜1β或x＞1α.法二：由题意知a＜0，由cx2＋bx＋a＜0，得cax2＋bax＋1＞0.将法一中的①②代入，-7-得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，即(αx－1)(βx－1)＞0.又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为xx＜1β或x＞1α.22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解](1)y＝920vv2＋3v＋1600＝920v＋1600v＋3≤9202v·1600v＋3＝92083≈11.08.当v＝1600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．(2)据题意有：920vv2＋3v＋1600≥10，化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．