11.6 高斯公式和斯托克斯公式

11.6高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式二、斯托克斯公式三、通量与散度四、环流量与旋度一、高斯公式定理11.7dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或(,,),(,,),(,,)()PxyzQxyzRxyzPQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有公式高斯公式11.6高斯公式和斯托克斯公式。证明xyzo123cos,cos,cos这里是的整个边界曲面的外侧，(,,)xyz是上点处的法向量的方向余弦.xyD.xyxoyD设闭区域在面上的投区域为123由，，三部分组成，11(,)zzxy：22(,)zzxy：311.6高斯公式和斯托克斯公式根据三重积分的计算法dxdydzzRdyzRxyDyxzyxz}{),(),(21.)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法,)],(,,[),,(11xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR(1取下侧,2取上侧,3取外侧)11.6高斯公式和斯托克斯公式。,)],(,,[),,(22xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxR(,,)Rxyzdxdy于是.0),,(3dxdyzyxR.),,(dxdyzyxRdvzR11.6高斯公式和斯托克斯公式。,),,(dydzzyxPdvxP同理,),,(dzdxzyxQdvyQRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(------------------高斯公式合并以上三式得：11.6高斯公式和斯托克斯公式。Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知11.6高斯公式和斯托克斯公式例1解22,,PxyyQxyzRzxy因22+1PQRxyxyz22()()()xyydydzxyzdzdxzxydxdy22(1)xydxdydz2123000+2=3dddzdxdydz.故2222()()()10,2xyydydzxyzdzdxzxydxdyxyzz计算，其中为柱面及平面所围空间闭区域的整个边界曲面的外侧。11.6高斯公式和斯托克斯公式例2,,0,)(yxRQxzyPxozy113解22()()10,3xydxdyyzxdydyxyzz计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.11.6高斯公式和斯托克斯公式。,0,0,zRyQzyxP()yzdxdydz原式dzdd)zsin(.29(利用柱面坐标得)xozy11311.6高斯公式和斯托克斯公式使用Guass公式时应注意:1.,,;PQR是对什么变量求偏导数2.;是否满足高斯公式的条件3..是取闭曲面的外侧11.6高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分dszyx)coscoscos(222,其中Σ为锥面222zyx介于平面0z及)0(hhz之间的部分的下侧,cos,cos,cos是Σ在),,(zyx处的法向量的方向余弦.例3xyzoh11.6高斯公式和斯托克斯公式解xyDxyzoh1xoyxyD2221:()zhxyh补充曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式1取上侧，.1围成空间区域,Ω使用高斯公式上在空间曲面在面上的投影域为1构成封闭曲面，11.6高斯公式和斯托克斯公式。dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2}.|),{(222hyxyxDxy其中xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221.214h11.6高斯公式和斯托克斯公式。112222)coscoscos(dSzdSzyxxyDdxdyh2.4h故所求积分为dSzyx)coscoscos(222421h4h.214h11.6高斯公式和斯托克斯公式定理11.8设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,二、斯托克斯公式zRyQxPddd(斯托克斯公式)在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,在包含则有11.6高斯公式和斯托克斯公式证明是有向曲面的正向边界曲线右手法则xyzo),(:yxfzxyDCn如图,C..xyzxoyD设与平行于轴的直线相交不多于一点,并取上侧有向曲线为的正向边界曲线在的投影且所围区域11.6高斯公式和斯托克斯公式思路：曲面积分二重积分曲线积分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代入上式得又,coscosyfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPycos)(11.6高斯公式和斯托克斯公式。dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即,)],(,,[dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyDyfzPyPyxfyxPy)],(,,[111.6高斯公式和斯托克斯公式根椐格林公式cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy)],(,,[)],(,,[dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc)],(,,[即平面有向曲线2,),,(dxzyxPdxdyyPdzdxzP空间有向曲线11.6高斯公式和斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx..同理可证：,),,(dyzyxQdydzzQdxdyxQ,),,(dzzyxRdzdxxRdydzyR故有结论成立.11.6高斯公式和斯托克斯公式便于记忆形式：RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscos另一种形式}cos,cos,{cos=γβαn其中11.6高斯公式和斯托克斯公式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy面的平面闭区域时)11.6高斯公式和斯托克斯公式例422()()()11yzdxzxdyxydzxyxzz计算曲线积分，其中为柱面与平面的交线，从的正向看去沿逆时针方向。解22221,:1;:(1)1;xyyzxzxoyyozDxyDyzzox设平面上所围区域为，取上侧，在面上的投影区域分别为：在面上的投影为零，由斯托克斯公式得：()()()=2yzdxzxdyxydzdydzdzdxdxdy11.6高斯公式和斯托克斯公式()()()=2yzdxzxdyxydzdydzdzdxdxdy2(0+)2(0)4yzxyDDdydzdxdy11.6高斯公式和斯托克斯公式例5dxdydzdxdydz0xyDxyzn111解按斯托克斯公式,有dzyxdyzdx,1zdxxdyydzxyz计算曲线积分其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。11.6高斯公式和斯托克斯公式。dxdydzdxdydzxyDd3xyo11xyD23由于的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知：如图xyDdzyxdyzdx11.6高斯公式和斯托克斯公式三、通量与散度1.通量:RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0(,,)(,,)(,,)(,,)AxyzPxyziQxyzjRxyzk设有向量场沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分为(,,).Axyz称为向量场向正侧穿曲面的通量过11.6高斯公式和斯托克斯公式上侧的磁通量，其中为上半球面2Bxziyzjzk，例6设磁场中磁感应强度222zRxy。求其通过解2xzdydzyzdzdxzdxdy所求的磁通量为设1：2220,:xyzDxyR取下侧，11.6高斯公式和斯托克斯公式2xzdydzyzdzdxzdxdy1122+=xzdydzyzdzdxzdxdyxzdydzyzdzdxzdxdy4zdxdydz则由高斯公式得12zdxdy23420004cossin0=RddrdrR11.6高斯公式和斯托克斯公式2.散度:(,,).AxyzMVVVM设有向量场，在场内作包围点的闭曲面，包围的区域为，记体积为若当收缩成点时，limVMAdsV极限存在，.AMdivA则称此极限为在点处的，记为散度11.6高斯公式和斯托克斯公式散度在直角坐标系下的形式dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1dSvVzRyQxPn1)(),,(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理,两边取极限,zRyQxPAdiv11.6高斯公式和斯托克斯公式高斯公式可写成dSAdvAdivn)coscoscos(0RQPnAAn其中是空间闭区域的边界曲面，.nAA是向量在曲面的外侧法向量上的投影11.6高斯公式和斯托克斯公式例7222()()()Axxyiyyzjzzxk求向量场在下列各点处的散度，其中12(2,1,3),(3,1,4),PP3(2,0,5).P解222,,PxxyQyyzRzzx=(2)(2)(2)3()PQRdivAxyzxyyzzxxyz12318,0,9PPPdivAdivAdivA则故11.6高斯公式和斯托克斯公式四、环流量与旋度(,,)(,,)(,,)(,,).CCAxyzPxyziQxyzjRxyzkACAdsPdxQdyRdzAC设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线上的曲线积分称为向量场沿曲线按所取方向的环流量1.环流量11.6高斯公式和斯托克斯公式2.旋度:CijkAdsdsxyzPQR环流量利用stokes公式,有().ijkrotAxyzPQR称向量为向量场的旋度11.6高斯公式和斯托克斯公式。.)()()(kyPxQjxRzPizQyR