高二数学-双曲线讲义

第1页共8页高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：11.23一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba专题双曲线目标掌握双曲线的定义；双曲线的图像和几何性质；重难点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；常考点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；xOF1F2PyA2A1xOF1PB2B1F2y第2页共8页（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222byax，因式分解得到0xyab。②与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQ二、例题讲解。例1、如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）5（C）25（D）31例2、设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C.123D．24XYOF1F2P2r第3页共8页例3、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=321的双曲线过点P(6，6)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)求双曲线方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆同步练习1.如果双曲线2422yx＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）(A)364(B)362(C)62(D)322.已知双曲线C∶22221(xyaab＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)ab(D)22ba3.以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A221090xyxB．2210160xyxC．2210160xyxD．221090xyx4.以双曲线222xy的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430xyxＢ．22430xyxＣ．22450xyxＤ．22450xyx5.若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)A1A2MNGPoyx第4页共8页6.若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A）3（B）5（C）3（D）57.已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则12PFPF＝（）A.-12B.-2C.0D.4填空题8.过双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______9.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．10.过双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于,MN两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______11.已知点P在双曲线221169xy上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是_________12.已知12,FF是双曲线221169xy的两个焦点，PQ是过点1F的弦，且PQ的倾斜角为，那么22||||||PFQFPQ的值是__________13.已知(6,0),(6,0)BC是ABC的两个顶点，内角,,ABC满足1sinsinsin2BCA，则顶点A的轨迹方程是________________解答题第5页共8页14.如图，在以点O为圆心，||4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足||||||MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.15.已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255。（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3APPB，求AOB面积的取值范围第6页共8页选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.C填空题：8.32159.(1,12)10.211.64512.1613.221(3)927xyx17.解：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（1,3），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜=221321)32(2222＝）（＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为12222yx.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为abyax(12222＞0，b＞0）.则由411322222baba）（解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为.12222yx(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴0)1(64)4(01222kkk－133kk∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.第7页共8页设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是｜EF｜＝2212221221))(1()()(xxkxyxx＝.132214)(1222212212kkkxxxxk而原点O到直线l的距离d＝212k，∴S△DEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有　解得.22,022213222422kkkkk③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1)∪(1,2).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴22210(4)46(1)0kkk－133kk.∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1-x2｜=.132214)(22221221kkkxxxx③当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝;21212121xxODxxODSSODEODF当E、F在不同支上时（如图2所示）.ODFOEFSSS△ODE=.21)(212121xxODxxOD综上得S△OEF＝,2121xxOD于是第8页共8页由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=.132222kk若△OEF面积不小于2则有即,22,2OEFS.22,02213222422kkkkk解得④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.18.（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2505axby的距离为，所以22255abab所以255abc由22225525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x（Ⅱ）设直线AB的方程为,ykxm由题意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得点的坐标为（由2,),222ykxmmmByxkk得点的坐标为（121,(),()122122mmAPPBPkkkk得点的坐标为（uuuruur将P点的坐标代入21x2y4得2224(1)4mk设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）AOBS=AOQBOQSS22111()222114()2222411()12ABABOQxOQxmxxmmmmkkkggg