双曲线讲义(教师版)

一、双曲线知识点总结:1.双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PFPFaFF时,的轨迹为双曲线;当1212||||||2||PFPFaFF时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点，焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为等轴双曲线的渐近线方程为，离心率为.；1.注意定义中“陷阱问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为二、双曲线经典题型:1.定义题：PP21212||FFaPFPFP21FF、FlFle1e)0,(12222babyax)0,(12222babxay)0,(),0,(cc),0(),,0(ccc2Ryax,||Rxay,||)0,(),0,(aa),0(),,0(aa(1,)ceacax2cay2xabyxbay12222byax)0(2222byax12222byax22221yxba222ayxxy2e12(5,0),(5,0)FFP21,FFxy23ABCPOxy1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB||PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.2.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12C．D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形故选B。3.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（）A．9B．16C．18D．2712222byax13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为5680x10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即m1068011222yx363122:3||:||,13,12,121PFPFcba由,22||||21aPFPF.4||,6||21PFPF,52||,52||||2212221FFPFPF为21FPF.124621||||212121PFPFSFPFF1169:22yxCCiP3,2,17iPiyFPFPFPFPFPFP654321[解析]，选C4.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）（B）（C）（D）［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，5.若椭圆0122nmnymx与双曲线221xyab)0(ba有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A.amB.am21C.22amD.am【解析】椭圆的长半轴为1221mPFPFm，双曲线的实半轴为1222aPFPFa，2212121244PFPFmaPFPFma：，故选A.2.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；FPFP61FPFP52643FPFP)0,0(12222babyax21FPFabccba21FPF0xaxacxxcPFPF000122|)(|||162x42y2cba,,22ax22by5222)23(a24b5122x82ykx162ky422122x82y2xy[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.[解析]抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为4.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A．B．C．（x0）D．[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B3.与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2.双曲线的渐近线方程是()224yx01422yx201045201422yy2010452221205xy120522xyxy382F03yxxy382F)0,32(223yx9)32(34213922yx(3,0)M(3,0)N(1,0)BCMNBMNCPP221(1)8yxx221(1)8yxx1822yx221(1)10yxx2BNBMPNPMPMN)0,0(12222babyax2352cba,,ab25122222abace5ecba,,22149xyA.B.C.D.[解析]选C3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4.过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为2214xyk点（1，3）代入：135944k.代入（1）：22223541443535xyxy即为所求.【评注】在双曲线22221xyab中，令222200xyxyabab即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222xykab，而无须考虑其实、虚轴的位置.4.几何1.设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C.123D．24【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13abc.设；12123,2.22,2.PFrPFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFFF，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴121211641222PFFSPFPF.选B.5.求弦1.双曲线122yx的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）23yx49yx32yx94yx1222yx1241222yx1241222xy1122422xy1122422yxXYOF1F2P2rA.12xyB.22xyC.32xyD.32xy【解析】设弦的两端分别为1,12,2,AxyBxy.则有：222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy.∵弦中点为（2，1），∴121242xxyy.故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为：12223yxyx，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2.在双曲线1222yx上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由222221221224302221yxxxxxyx这里16240，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12xx时才可能求出k=2.若12120xxy，必有y.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.