非线性有限元

非线性有限元非线性问题大多数实际问题属于非线性问题，根据产生非线性的原因，非线性问题主要有三种类型：●材料非线性(物理非线性)●几何非线性●接触非线性ε材料非线性应力与应变之间为非线性关系，通常与加载历史有关，加载和卸载不是同一途径，因而其物理方程中的弹性矩阵是应变的函数。但材料非线性问题仍属于小变形问题，位移和应变是微量，其几何方程是线性的。土、岩石、混凝土等具有典型的材料非线性性质，应当按材料非线性问题处理。几何非线性几何非线性属于大变形问题，位移和应变或者它们中一个是有限量。可能会有三种情况:大位移(包括线位移和角位移)、小应变；小位移、大应变；大位移、大应变。此时反映应变和位移关系的几何方程是非线性方程，])()()[(21222xwxvxuxuxywxwyvxvyuxuyuxvxy如果应力和应变之间的关系也是非线性的，就变成了更复杂的双重非线性问题。在几何非线性问题中一般都认为应力在弹性范围内，应力与应变之间呈线性关系。工程中的实体结构和板壳结构都存在几何非线性问题，例如弹性薄壳的大挠度分析，压杆或板壳在弹性屈曲后的稳定性问题。接触非线性由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，使得部分边界条件随加载过程而变化，且不可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆性产生的非线性问题，称为接触非线性。材科非线性有限元法材料非线性是由本构关系的非线性引起的。但它和线弹性有限元一样，都属于小变形问题，因而关于形函数的选取、应变矩阵、应力矩阵及刚度矩阵的形式都是相同的，不同的仅在刚度矩阵是按非线性弹性或弹塑性矩阵计算的，这是材料非线性有限元的基本内容。全量形式的非线性弹性本构方程：全量形式非线性有限元εDDεDσ)(psD为弹性矩阵230000023000023000211212)9)(2)1(3(对称EpD)(6)()()(2132222222zxyzxyxzzyyxJ)(23)()()(32222222zxyzxyxzzyyx平均等效应力平均等效应变)(和之间存在单值函数关系关系由试验确定，对于简单拉伸，就是单轴的关系。eesRδk)(dVsTvsBDBk)(RδδK)(seTeesckcδKs)()()(单元切线刚度矩阵可得整体平衡方程整体切线刚度矩阵sK与位移有关，这是一个非线性方程组。一般用迭代法求解。RδδK)(s整体平衡方程（一）全量形式非线性有限元求解方法(1)直接迭代法(2)初应力法(3)初应变法0RδδK)(0δδK)(00δKKRKδ101)((1)直接迭代法对非线性方程组设其初始的近似解为，由此确定近似的矩阵可得出改进的近似解重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1次近似解的迭代公式为直接迭代法对非线性方程组RKδδKK11)()(iiii直到iiiδδδ1变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。0RδδKδψiii)()(在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。0RδδK)(直接迭代法的计算过程)(δiδδ0RδFδψψ)()(iii设为具有一阶导数的连续函数，是方程的第i次近似解。若iδδ在附近按一阶Taylor级数展开Newton—Raphson方法iiiiiiTiiTiiTiδδδδFδψKFRKψKδ111)()()()()(引入记号iiTiT)()(δψδKKNewton—Raphson迭代公式为Newton—Raphson迭代法的计算过程•但Newton-Raphson法不能保证在所有情况下都收敛!•仅当初始构形在收敛半径内时Newton-Raphson才收敛.Fδ位移载荷收敛半径如果δ初始在收敛半径内,解将收敛;否则解发散.δ初始?Fδ位移载荷δ初始发散!Fδ位移载荷δ初始收敛初始点在收敛半径外部初始点在收敛半径内部Fδδstart•如果初始构形在收敛半径外部,有两种技术可帮助获得收敛解:递增加载使目标更接近初始点FδδstartF1用收敛增强工具扩大收敛半径•通常结合两种策略获得收敛.•一般的规律是系统任何方面的突变会导致收敛困难.–刚度突变.–载荷突变.•最佳收敛行为是把突变分成一系列很多小的递增的变化.–采用渐变加载.–采用小的时间步.m-Newton-Raphson法101()()()iiiiTTδKψKRFm-Newton—Raphson迭代公式为1iiiδδδm-Newton—Raphson迭代法的计算过程q-Newton-Raphson法KK)()()(111iiiiiδψδψδδK每次迭代后用一个简单的方法修正的修正要满足以下的拟牛顿方程DFP(Davidon-Fletcher-Powell)公式iiTiiTiiiiTiTiiiψKψKψψKψδδδK1111)()()()()()()()(1111)()()(iiiKKKBFS（Broyden-Fletcher-shanno）公式iTiTiiiiTiiiTiTiiiTiiiTiiψδδψKKψδψδδδψδψKψK)()()()()()()())()()(1()(1111q-Newton—Raphson迭代法的计算过程（2）初应力法如果在弹性材料内确实存在初应力0σ，则材料的应力应变关系为0σDεσ由上式及虚功原理可导出单元的结点力为dVTvee0σBkδF0RRKδ0R0σ集合单元得出以下的有限元方程式中，为由初应力引起的等效结点荷载dVTvTee0)(0σBcR0σ初应力法就是将初应力看作是变化的，以此来反映应力和应变之间的非线性关系。通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非线性解。（3）初应变法如果在弹性材料内确实存在初应变0，则材料的应力应变关系为10Dσε01Dσ（二）增量形式非线性有限元求解方法在用线性方法求解非线性方程组时，若对荷载增量进行线性化处理，则称增量法。它的基本思想是将荷载分成许多小的荷载部分（增量），每次施加一个荷载增量。此时，假定方程是线性的，刚度矩阵K为常矩阵。对不同级别的荷载增量，K变化的。这样，对每级增量求出位移增量，对它累加，就可得到总位移。实际上就是以一系列的线性问题代替了非线性问题。刚度的取值可根据给定的应力-应变曲线导出。若每级计算都采用上一级增量计算终了时的刚度值，则称为始点刚度法。iPδPKi-1iP1iP始点刚度法类似于解微分方程初值问题的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算精度较低，容易“漂移”。若采用中点刚度法则可以提高精度。该法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔（Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法和中点平均刚度法。δPKi-1iP1iP（三）混合法如对同一非线性方程组混合使用增量法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。一般在总体上采用Euler增量法，而在同一级荷载增量内，采用迭代法。δPKi-1iP1iP