非线性有限元解法

非线性有限元方程组的解法不论材料非线性问题还是几何非线性问题，其有限元方程都是非线性的：R---外部载荷的等效节点力矢量；P---内力的等效节点力矢量。在全量方法的位移有限元解法中，u是结构的位移矢量，在增量方法的位移有限元解法中，u是结构的位移增量矢量。0RuPu)()(0RuuKu)()(非线性有限元方程组的解法•对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的•其解答利用直接方法很容易得到•但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法得到其解答。•一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。•通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去逼近非线性方程组的解。0RKuRKu1非线性有限元方程组的解法•直接迭代法•牛顿法•增量法非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）固体力学中非线性有限元方程通常可以写成：其中设初始近似解为，那么可得一个近似矩阵于是由（1）可得到一个改进的近似解：据此容易写出直接迭代法的迭代公式：按照这种迭代公式可以得到一个解数列，当这个数列收敛时停止计算，其数列收敛值就是方程（1）的解。0RKu)(uKK0uu)(01uKKRKu111)()(nnuKKRKunn11|)()(1)(2}{nu非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第n次和第n+1的解分别为、，则“偏差”为：范数的定义可取或于是收敛判据可取为：（位移收敛判据）在这里注意到，对于非线性方程（1），将代入一般不是严格满足的，即该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：（失衡力收敛判据）nuu1nuunnnuuu1)(3}max{nnuu21/]}{}[{ntnnuuu)(4)(5nnuu)(60RuuKunnn)()(nu)(7Run)()(8非线性有限元方程组的解法（牛顿法）把非线性有限元方程记为：现在设是方程（1）的第n次近似解。一般地，这时该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为，此时新的近似解为：将（3）代入（1）中并在附近将泰勒（Taylor)展开：若记可得从而可解出修正量为：0RuPu)()()(1nuu0RuPunn)()(nunnnuuuu1)(2)(3nuu)(nnuunnnnnuuuuu)()()(4nnTnTuuKK)(nnTnnnuKuuu)()(0nu))(()()()(nnTnnTnuPRKuKu11)(5)(6)(7非线性有限元方程组的解法（牛顿法）这样，牛顿法的迭代公式：其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。))(()()()(nnTnnTnuPRKuKu11nnTnTuuKK)(nnnuuu1)(8非线性有限元方程组的解法（增量法）•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用表示载荷，于是非线性有限元方程可写成：用载荷因子λ系列：相应于不同的载荷。若相应于载荷因子的解已经求得，记为，则现在来求相应于载荷因子为时的解。设为其解，于是有将在处泰勒展开得10210M)(1RR0RuPu)(),()(2nnuunn10RuPunnnn)(),(uuunn10RuuPuunnnn)()(),()(3)(4),(nnuunnu,nnnnnnnuuuuu),(),()(5非线性有限元方程组的解法（增量法）若记作：考虑到，于是方程（5）可近似为或若考虑到相应于载荷因子的解并不是精确解，亦即：于是方程的解为nnnTuuK),(Rn)(60RuuKnnT),()(7RuKunnT1)),(()(80RuPunnnn)(),(nnuu))(()),(()),(()),((nnnnTnnnnTuPRuKuRuKu111)(9)(10