第三章光谱线增宽

光谱线增宽1光谱线、线型和谱线宽度一.谱线线型和宽度1.此前总假设能级无限窄,即自发发射功率(光强)全部集中在单一频率v0=(E2－E1)／h上。0I2.实际上,能级总有一定宽度△E,而不是一条简单的线.v0△E1△E2τ1τ2)(12EEhvnv2v13.由于能级有一定的宽度，所以当原子在能级之间自发发射时，它的频率也有一个变化范围△vn.4.实际上光强分布总在一个有限宽度的频率范围内,每一条谱线都有一定的宽度,v=v0只是谱线的中心频率.这种现象称为谱线加宽自发发射光强按频率分布令:I0=自发辐射总光强vvIId)(0实验表明:不仅各条谱线的宽度不相同,而且在每条有限宽度的频率范围内,光强的相对强度也不一样.描述光谱线加宽特性的物理量：线型函数和线宽二.谱线的线型函数f(v)——描述单色辐射功率随频率变化的规律。(给定了光谱线的轮廓或形状)1定义:d)()()()(0IIIIf可见:线型函数f(v)表示某一谱线在单位频率间隔的相对光强分布，它可由实验测得。2.谱线宽度(线宽):线型函数一般关于中心频率对称，且在中心频率处有最大值。一般定义线型函数的半极值点所对应的频率全宽度为光谱线宽度)(210vf)(0vf)(vf2112vvv若v=v1,v=v2时,f(v)的值为f(v0),则频率间隔称为光谱线半值宽度(谱线宽度/线宽)。它是衡量单色性的一个参数。(能量集中的程度)当v=v0时f(v)有最大值f(v0)vvvddv3.谱线下面积的意义:vvfSd)(d频率在vv+dv范围的光强占总光强的百分比4.线型函数f(v)的归一化条件1d)(vvf相对光强总和为1三.跃迁几率按频率的分布:受激跃迁几率的修正考虑了线宽后,三种跃迁几率(A21、W21、W12）均按频率有一定的分布,且与谱线线型函数f(v)有关,即)()(2121fAAvfBW)()(2121vfBW)()(12121.自发跃迁几率按频率分布函数A21(v)前面在引进A21时，因没有考虑能级的宽度，故辐射功率q0∝A21即q0=n2A21hv=n2A21hv0考虑能级宽度后，自发发射功率按频率分布，v=v0只是谱线的中心频率，辐射功率分布在频率间隔△v内。)(210vf)(0vf)(vf分布在频率v～v+dv范围内的辐射功率q(v)dv应为q(v)dv=q0f(v)dv=n2A21hv0f(v)dvq(v)=n2hv0A21(v)dv在单位时间内,对应于频率v～v+dv间隔,自发辐射的原子跃迁数密度公式为vnvAvvfnAvnd)(d)()(d2212212故：f(v）也可理解为自发跃迁几率按频率的分布函数。其中:A21(v)=A21f(v)表示在总的自发发射跃迁几率A21中,分配在频率v处,单位频率间隔内的自发辐射跃迁几率。)(210vf)(0vf)(vf21A总的自发辐射跃迁中,分配在频率处单位频率间隔内的自发跃迁几率21AvnvAvvfnAvnd)(d)()(d22122122.受激发射几率按频率分布函数W21(v)、W12(v)由)()(88213332133321vfvAhvcAhvcB即)(8)()(213332121vAhvcvfBvB因此，在辐射场ρv的作用下，总的受激发射跃迁几率W21中，分配在频率v处单位频率内的受激发射跃迁几率为W21(v）=B21(v)ρv=B21f(v)ρv)(210vf)(0vf)(vf分配在频率v处单位频率间隔内的受激辐射跃迁几率同理,受激吸收跃迁几率为W12（v）=B12(v)ρv=B12f(v)ρv分配在频率v处单位频率间隔内的受激吸收跃迁几率W12（v）=B12(v)ρv=B12f(v)ρv与能级特征相关与物理条件相关外辐射场在单位时间内,对应于频率v～v+dv间隔,受激辐射、受激吸收的原子跃迁数密度公式为vnvBvvfnBvnvvd)(d)()(d2212212vnvBvvfnBvnvvd)(d)()(d1121122考虑到光谱线宽度后，在单位时间内落在v～v+dv频率范围内的自发辐射、受激辐射、受激吸收的原子密度数与光谱线型函数f(v）成正比。3.三种跃迁中单位时间内发生跃迁的原子数密度2122122122122d)(d)(d)()dd(AnvvfAnvvfAnvvAntnspvvfBnvvWntnvstd)(d)()dd(2122122下标“sp”---spontaneous自发下标“st”---stimulated受激vvfBnvvWntnvstd)(d)()dd(1211212可见：考虑谱线增宽后，对没有影响，但对和的积分却与辐射场ρv的带宽△v有关。而该积分在一般情况下是比较复杂的，对于激光器，我们考虑两种极限情况。sptn)dd(2sttn)dd(2sttn)dd(2四.讨论两种极限情况1.原子与准单色光辐射场相互作用对于激光器来说,由于辐射场基本上是准单色的,其谱线宽度远比发光粒子本身的自然宽度小得多,属于这种情况.∵△v’＜＜△v,∴在△v’范围内f(v)=f(v0)可近似看成恒量ρ——频率为v的准单色辐射场的总能量密度根据δ函数的性质有vvvvvd)(d)(0原子与准单色光辐射场相互作用ρv'v辐射场的带宽△v’＜＜△v'vρv=ρδ(v－v0))('d)('d)'()dd(021202122122''vfBnvvfBnvvfBntnvvst2212)dd(nWtnst与对比有)(02121vfBW同理有)(01212vfBWρv'v将式代入（1-51）得ρv=ρδ(v－v0)vvfBnvvWntnvstd)(d)()dd(2122122其中为外来光总辐射能量密度。这种情况表明总能量密度为的外来光只能使频率为附近原子造成受激辐射。νdν00ν)(02121vfBW)(01212vfBW以上两式是在频率为v’的单色辐射场作用下，受激跃迁几率。总受激跃迁几率和吸收几率为：ρv'v物理意义：受激跃迁(吸收)几率存在着由介质谱线加宽线型函数所决定的频率响应特性当不存在谱线加宽时，只有辐射频率v严格等于原子发光的中心频率时才能产生受激辐射和受激吸收。由于发光粒子的谱线加宽，与它相互作用的单色光频率不一定精确等于粒子中心频率时才发生受激跃迁。而在v’=v0附近范围内，都能产生受激跃迁。当v‘=v0时跃迁几率最大，v’偏离v0跃迁几率急剧下降。2.原子与连续光辐射场的相互作用辐射场ρv’的带宽△v’＞＞△v同理得)()dd(01212vBntnst入射光谱线f(v)△v’of(v)在此范围内：ρv≈ρ(v0)B21(v)≈B21(v0)由图可知，对(1-51)式积分时，被积函数f(v)只有在原子中心频率v0附近的很小范围△v内才有非零值。vvfBnvvWntnvstd)(d)()dd(2122122)(d)()(d)()dd(0212''0212''2122vBnvvfvBnvvfBntnvst(1-56)得受激跃迁几率)(02121vBW)(01212vBW(1-57)(1-58)入射光谱线f(v)△v’of(v)物理意义:在入射光谱线宽度远大于原子光谱线(△v’＞＞△v)的情况下,受激辐射跃迁几率与原子谱线中心频率v0处的外来光单色能量密度有关.空腔热辐射作为作为外来光场就属于这种种情况.现在我们知道:在考虑了线宽之后,光与物质相互作用的所有三种辐射跃迁过程都和线型函数f(v)有关。但是,f(v)的具体形式,则是由引起谱线增宽的具体物理机理决定的。因此,我们要根据不同的物理条件确定f(v)的具体形式,从而确定不同的物理条件下的跃迁几率。即遵循线路:物理条件→f(v)→跃迁几率。2自然增宽一经典辐射理论1.极子阻尼振动时释放能量——自发发射现象U2tetveUt0202costveUUt0202cos其阻尼振动形式为(1-60)其发射的光强,可表示为2UIteAUI20其中:τ——驰豫时间，振子的辐射寿命当t=τ时由(1-27)已知eII0211AA21为自发发射跃迁几率,A21越大,平均寿命越短,反之,平均寿命越长.2.原子的能量在发射电磁波的过程中不断衰减，严格来讲已非单一频率的谐振过程。其中包含有许多不同频率的谐振波。U2tetveUt0202cos以原子发射开始记时，我们将以上阻尼振动表示为：000)(0220t＞eeUt＜tUtvit当当(1-62)由傅立叶公式vevutUvtid)()(2其中tetUvuvtid)(21)(2是对(1-62)式进行傅立叶变换的自发辐射的频谱物理意义:U(t)中所包含的频率为v的简谐振动的振幅因子,由傅立叶正变换来计算,将(1-62)代入上式,得teetUtetUvuvvitvtid)(d)(21)()(220200]21)(2[00)(220dd)()(00teUteetUvutvvivvit考虑到当t＜0时,U(t)=0,故有21)(200vviU2)()(vuvI220220)21()(4vvU因为频率为v～v+dv范围内的辐射强度I(v)dv应正比于,所以vvud)(2由于电偶极子的原子的衰减振动可展开成频率v在一定范围内连续变化的简谐波,所以光强在谱线范围内频率v有一个分布。根据线形函数的定义有2202)21(4)(）（vvAvfN(1-65a)其中:A——比例常数fN(v)——自然增宽的线型函数3.自然增宽的线形函数((Lorentz型)(下标N表示“自然”)由归一化条件有01d)(vvfN1A故:2202)21(41)(）（vvvfN(1-65b)2)()(vuvI220220)21()(4vvU洛伦兹线型当v=v0时，f(v0）有最大值4411)(20vfN当4101vv和4102vv时)(212)()()(021vfvfvfvfNNNN12vvvN称为谱线的自然宽度，它完全取决于原子在能级E2的自发辐射寿命τ。将21v代入(1-65b))(210vfN)(0vfN)(vfN2112vvvN得:2202)2(42)(NNNvvvvvf）（(1-67)是能级平均寿命2202)21(41)(）（vvvfN2202)2(42)(NNNvvvvvf）（这个自然增宽（设想原子处在彼此孤立并且静止不动时的谱线宽度）的线型分布函数也称洛沦兹线型函数0当时有最大值NNNf637.02)(0)(210vfN)(0vfN)(vfN洛沦兹线型函数在不受外界影响时，受激原子并非永远处于激发态，它们会自然地向低能态跃迁，因而受激原子在激发态上具有有限的寿命，这一因素造成了原子跃迁谱线的自然加宽。二.自然增宽的量子解释根据量子力学中的不确定关系(能量与时间不能同时精确测定)△t△E=h/2π可见:寿命越长,能级宽度越窄,即△E越小,在基态τ→∞,△E→0.△E——为能量的测不定量（即能级宽度）；τ——原子的平均寿命（即测量时间△t）v0△E1△E2τ1τ2)(12EEhvnv2v1由于能级有一定的宽度，所以当原子在能级之间自发发射时，它的频率也有一个变化范围△vN，△vN称辐射的自然宽度。对原子的能级来说，时间的不确定值就是原子的平均寿命τv0△E1△E2τ1τ2)(12EEhvnv