初中几何等腰三角形典型例题

初中几何等腰三角形典型例题初中几何等腰三解形性质及典型试题一.重点、难点：重点：理解和掌握等腰三角形以下性质：1.等腰三角形轴对称性质；2.等边对等角；3.三线合一。难点：1.推导性质。通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。2.应用性质。等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。二.知识要点1.等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。如图，△ABC中，若AB、BC、AC三边中有其中两边相等，则△ABC称为等腰三角形。（1）（2）（3）图（1）中AB＝AC，图（2）中AC＝BC，图（3）中AB＝BC。相等的两边称为等腰三角形的腰，另一边称为等腰三角形的底边；两腰的夹角称为等腰三角形的顶角，另外两个角称为等腰三角形的底角。你能指出上述三幅图中的腰、底边，顶角和底角吗？2.等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。根据轴对称图形的概念我们知道：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。如果在△ABC中，AB＝AC，我们画出顶角∠BAC的平分线AD，沿着AD对折△ABC会发现什么结论？通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。（这里要注意到对称轴的概念——直线，而△ABC的顶角平分线是一条线段即这里的折痕，不能把它们混为一谈，同时也要把一般角的平分线——射线与它们区别开）。3.推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。因为等腰三角形是轴对称图形，而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换，所以如下图，△ABC中，若AB＝AC，AD是△ABC的∠BAC的平分线，当我们沿AD折叠时，会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°BD＝CD追根溯源来看这些相等的边和相等的角是由什么条件带来的，就可以得出等腰三角形的性质。4.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。我们把在上述图形中由等腰三角形AB＝AC这个条件出发，得出的角相等∠B＝∠C，这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。（也称为：同一个三角形中，等边对等角）。由等腰三角形AB＝AC和顶角平分线∠BAD＝∠DAC这两个条件出发，得出BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°（即AD⊥BC于D），这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为等腰三角形三线合一。5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。利用等腰三角形的性质解题时，一定要注意正确地表述性质的条件和结论。结合图形我们可以这样来表述：如下图，△ABC中，（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。（等腰三角形的两底角相等。）（2）∵AB＝AC，∠BAD＝∠DAC∴BD＝CD且AD⊥BC。或∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠DAC且AD⊥BC。或∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠DAC且BD＝CD。（等腰三角形三线合一）三、【典型例题】例题1.如图D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。分析：这里要根据条件来说明图形的名称，而不是凭直观和想象。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，另外的两角叫底角。解：图中的等腰三角形有：△ABC和△ADB。它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下：腰底边顶角底角△ABCAB、ACBC∠BAC∠CBA，∠C△ADBAD、DBAB∠BDA∠BAD，∠ABD注意：在没有明确三角形的具体条件的情况下，关于等腰三角形的有关概念（腰、顶角等）有多种可能的结果存在。如：△ABC是等腰三角形，就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。所以在叙述等腰三角形时，一般要明确指出相等的两边是哪两边。例2.如下图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝AE，AP是△ABC的角平分线。点D、E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？说明理由。分析：根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题：（1）将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？（3）轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？解：点D、E关于AP对称，且DE∥BC。理由如下：因为AP是∠BAC的平分线，AB＝AC，AD＝AE。则当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，所以BC⊥AP，DE⊥AP，所以DE∥BC。注意：这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是对称轴。例3.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B，∠C的度数分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等。结合三角形的内角和等于180°来计算。解：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°∴∠B＝∠C＝＝＝65°注意：此题也可以用代数的方法（列方程）来解，其解题依据仍然是：等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为180°。例4.已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。分析：（1）假设图形已经作出，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC，关键是要作出哪一个点？（2）已知BC边上的高的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？作法：如下图。1.作线段BC＝a。2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.3.在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。则△ABC就是所求的等腰三角形。注意：这里作图的依据是：等腰三角形三线合一的性质。更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素作为结论”。例5.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。猜想：AE⊥BC，BD＝CD说理：∵AB＝AC(已知)OB＝OC(已知)AO＝AO（公共边）∴△ABO≌△ACO（SSS）∴∠BAO＝∠CAO∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）注意：等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。例6.探索：等腰三角形两底角的平分线大小关系。已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。猜想：BD＝CE.解：∵AB＝AC（已知），∴∠ABC＝∠ACB（在一个三角形中等边对等角）∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知）∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（角平分线的定义）∴∠DBC＝∠ECB，在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠ECB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB，∴△DBC≌△ECB（ASA）∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。课后反思：认识等腰三角形并不困难，但要正确表述却不容易。特别是等腰三角形三线合一的性质的应用，很容易只给出一个条件，就得出结论。应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下：在△ABC中，如下图，∵AB＝AC∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）在△ABC中，如下图（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形三线合一）（2）∵AB＝AC，BD＝DC∴AD⊥BC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）（3）∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，1.如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______。2.如果∠BAD＝∠CAD，BC=6cm，那么∠BDA＝_____°，BD＝______cm。3.如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______。4.如果∠B＝80°，那么∠BAC＝5.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝6.如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。则：∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C。7.如下图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝°8.如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是cm。二.解答题1.请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。4.如图已知AB＝AC，BD＝DC，AE平分∠CAF，试判断AE与AD的位置关系，并说明理由。【试题答案】一.填空1.∠CAD，CD2.90，33.∠CAD，BC4.20°5.90°，20°；6.2180°－∠BAC27.80°8.29二.解答题1.解：等腰三角形的三边长分别为：2，3，3（Cｍ）2.解：如图，设AD＝ｘ，则DC＝ｘ，AB＝2ｘ。设BC＝ｙ。由题意可以列方程：4)yxBD()BDxx2(14yx2x2解之得：x=3，y=2或4)BDxx2()yxBD(14yx2x2解之得：x=5/3，y=22/3显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以舍去。所以△ABC的三边长分别为：AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm.3.解：△ABC中AB＝AC，所以∠C＝∠B若∠BAC∶∠B＝4∶1则：∠BAC＋∠B＋∠C＝6∠B＝180°所以∠B=30°＝∠C，∠BAC＝120°。若∠B∶∠BAC＝4∶1则：∠BAC＋∠B＋∠C＝9∠BAC＝180°所以∠BAC＝20°，∠B＝∠C＝80°4.解：AE⊥AD。说理如下：因为AB＝AC，BD＝DC所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）；∠B＝∠C（一个三角形中等边对等角）。因为∠CAF＝∠B＋∠C，所以∠CAF＝2∠B；因为AE平分∠CAF，所以∠CAF＝2∠EAF；所以∠EAF＝∠B，所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）所以∠EAD＝∠BDA＝90°所以AE⊥AD。