高等机构学-02-基于螺旋理论的自由度分析

《高等机构学》YSU燕山大学机械工程学院螺旋理论基础基于螺旋理论的自由度分析原理空间机构的位置分析运动影响系数原理空间机构动力学基于约束螺旋理论的并联机构型综合空间机构的奇异分析本门课程的主要学习内容机构的自由度确定机构或运动链位型所需的独立参数的数目IFToMM定义IFToMM定义中强调的是数目。但仅仅确定自由度数目是远远不能全面描述此类新机构的特点的，尤其是对于并联机构，研究其末端执行器的运动性质尤为重要。机构的自由度机构或运动链在三维空间所具有的稳定的独立运动的能力机构的自由度①这个能力的大小以确定机构或运动链位型所需要的独立参数的数目表示；②这个能力的性质以机构杆件所具有的移动自由度和转动自由度来表示；③这个自由度能力表现在时空上应该具有连续不变性，它应该是全周的。机构的自由度平面机构自由度公式1223ppNM空间机构自由度公式1234523456pppppNMM——机构的自由度N——表示机构中除去机架总的活动构件的数目pi——表示机构具有i个约束的运动副的数目自由度公式G-K公式d——机构的阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为6n——表示机构中包括机架总的活动构件的数目g——运动副的数目fi——第i个运动副的自由度数目giifgndM11G-K公式3-RPS并联机构4-URU并联机构11=6(891)153giiMdngf11=6(891)120giiMdngf3-RRC并联机构11=6(10121)202giiMdngf错误错误过约束（冗余约束）若某机械系统对同一构件提供了两个以上约束性质相同的约束，就称构件受到了过度的约束，简称“过约束”当约束以反螺旋表示时，数学上当“两个以上的约束反螺旋”线性相关时，则存在过约束。例如：门上的两个共线的合页由于没有考虑机构中可能存在的过约束（冗余约束），G-K公式对于一些机构无法得到正确的结果修正的G-K公式d——机构的阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为6n——表示机构中包括机架总的活动构件的数目g——运动副的数目fi——第i个运动副的自由度数目v——机构的过约束11giiMdngfv161giiMngfv所有的机构都可看作空间机构，有如下通用公式运动副的螺旋表达运动副图示活动度螺旋表示转动副(R)1移动副(P)1螺旋副(H)1圆柱副(C)2万向铰(U)2平面副(E)3球面副(S)3000;001R1$001;000P1$00;0011H1h$000;0011C$001;0002C$000;001U1$000;010U2$001;000E1$010;000E2$E3001;000$000;001S1$000;010S2$000;100S3$运动副的约束螺旋特点转动副的约束螺旋约束力：必须与转动副轴线共面（因此，若分支中含有球副，则分支约束力必过球副中心点）约束力偶：必须与转动副轴线相互垂直（因此，若分支中含有球副，则不存在约束力偶）约束力：必须与移动副轴线相互垂直约束力偶：与移动副无任何几何条件限制移动副的约束螺旋3-RPS机构自由度计算3-RPS机构自由度计算Oxyz5$3$4$2$1$0efr$12345100;000000;0e100;0010;00001;00$$f$fe$f$e分支的运动螺旋系：100;0r$fe约束螺旋系为：1r$2r$3r$3个相同分支有3个类似的约束力，都过各自分支球副中心并与第一个转动副平行。3个约束力线性无关，约束了平台的3个自由度，被约束的运动包括动平台内的两个移动和绕动平台法线的转动。16168911503giiMngfv按照修正的G-K公式计算：3-RPS机构自由度计算1r$2r$3r$自由度的全周性判别前面分析得到的自由度性质只是机构初始位型的自由度特性，必须分析一下当机构发生运动后，其自由度性质是否改变。主要是看分支运动螺旋系是否改变。如果分支运动螺旋系具有一般性，或者机构运动后还能保证几何条件不变，则说明机构的自由度性质具有全周性。3-RPS机构自由度计算4-URU机构自由度计算1233344455001000100;000100;0100;0001;00efefd$$$$$1000;010r$是沿分支坐标系y轴方向的约束力偶。URU分支的运动螺旋系：分支约束螺旋系为：4-URU机构自由度计算由于机构为对称并联机构，其余三个分支也包含有相同的约束力偶。所有的约束力偶都平行于定平台，其中只有两个独立的约束，存在两个过约束。其自由度数可由修正的G-K公式计算得到116101212024giiMdngfv在两个约束力偶的作用下，动平台失去了两个转动自由度，其自由度性质为三移一转。当动平台发生任意移动或绕定平台法线方向的转动后，两个平台的平行关系不会改变，分支中的U副平面始终垂直于定平台，分支约束力偶始终平行于定平台。其自由度性质不会改变。机构的阶和公共约束机构的阶：机构运动螺旋系的阶指的是机构所有构件允许的运动维数，一般情况下平面机构的阶为3，空间机构的阶为6机构的阶=6-公共约束数机构的公共约束：与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束（整个机构的运动螺旋系的反螺旋）。存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。并联机构的公共约束：各分支都能提供同样的约束（约束力共轴，约束力偶同向）。3-RRC机构自由度计算12223334100;000100;0100;0000;100efef$$$$12000;010000;001rr$$RRC分支的运动螺旋系：分支约束螺旋系为：若考虑公共约束根据机构三个分支的对称性，可知三个分支的约束螺旋系均为分别沿y和z轴方向的两个约束力偶。12000;010000;001riri$$(1,2,3)i3-RRC机构自由度计算可以看出三个分支有相同(竖直方向)的力偶分量，即机构存在一个公共约束。共面不汇交的三个约束力偶中又存在一个并联冗余约束。1158911213giiMdngfv若不考虑公共约束3-RRC机构自由度计算不考虑公共约束的话，机构的阶仍然取6。三个分支一共对动平台施加了六个约束力偶。三维空间偶量的最大线性无关数为3，所以独立的约束只有3个。存在3个冗余约束。16168911233giiMngfv3-UPU机构自由度计算1233344455100;000010;000000;0010;0100;00dfdfe$$$$$1000;001r$UPU分支的运动螺旋系：分支约束螺旋系为：3-UPU机构自由度计算116891153giiMdngfv三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的U副平面，它们相互并不平行，彼此线性无关。由修正的G-K公式计算可得三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有三个移动自由度。无伦平台如何移动，其分支中的两个U副平面始终平行。机构的自由度性质不会改变3-UPU机构自由度计算总结：用基于螺旋理论的自由度计算方法计算3-UPU并联机构的自由度是最能体现这种方法优点的一个例子。由于每个UPU分支中连接定、动平台的两个转动副并不相邻，一般情况下两者之间并没有稳定的平行关系。但当在机构装配时将其安装到平行位置时，由于机构自由度的限制，其几何关系不会被破坏，这种几何关系变成稳定的。这正是因为基于螺旋理论的自由度分析方法可以对机构任何瞬时的关系进行分析，更容易挖掘出机构在各种装配构型下的自由度性质。其他3-UPU机构自由度分析同样是3个UPU分支，当机构的分支与平台的布置关系发生改变，则机构的自由度性质将会发生巨大变化。3-UPU三转动并联机构3-UPU瞬时三移两转五自由度并联机构其他3-UPU机构自由度分析看一下3-UPU瞬时五自由度并联机构。当3-UPU瞬时五自由度并联机构发生竖直移动后，自由度性质不变。其他3-UPU机构自由度分析当3-UPU瞬时五自由度并联机构发生水平移动后则变为三维移动并联机构。其他3-UPU机构自由度分析当3-UPU瞬时五自由度并联机构发生转动后则变为两转一移并联机构。其他3-UPU机构自由度分析当3-UPU瞬时五自由度并联机构的自由度变化情况Carricato机构自由度计算有4个分支：（1）3个相同的4自由度PRPR运动链；（2）一个布置在机构中央的双Candan铰链的5副RUPUR运动链；（3）机器人手是直接联接在RUPUR分支的末端；Carricato机构自由度计算111222133314000;100100;0000;0100;000efef$$$$1112000;010000;001rr$$PRPR分支的运动螺旋系：分支约束螺旋系为：Carricato机构自由度计算中间RUPUR分支的5个运动副所决定的7个螺旋是线性相关的，秩为6，此分支对动平台不产生任何约束作用。16(1)giiMngf6151711934作用在动平台上的6个约束力偶中只有3个是独立的，有三个冗余约束。Carricato机构自由度计算动平台受到3个独立的约束力偶的作用，失去3个转动自由度，机构动平台只能实现3维移动。但是对于整个Carricato机构，它的自由度等于其中的并联机构的自由度和RUPUR分支的自由度之和。中间分支的“局部自由度”却被有效地利用来作为机器人夹持器的转动自由度。Bennett机构自由度计算Bennett机构是由轴线相错的四个转动副构成的单自由度空间机构。满足“封闭形对边的长度相等，扭角相等，且对边与扭角的正弦成比例”。Bennett机构自由度计算设AC=2l,BD=2m，AC和BD的夹角为β。E,F为AC和BD的中点且EF=n。选取E为原点，x轴沿向量EF，y轴沿EA。根据所满足的几何条件，可得点A,B,C,D的坐标为(00)(cossin)(00)(cossin)AlBnmmClDnmm,,,.ABCDS=BAADS=CBBAS=DCCBS=ADDC另外4个转动副轴线的方向矢量可以表示为(1)(2)Bennett机构自由度计算可得Bennett机构的运动螺旋系为从四个螺旋的表达式容易得到说明这四个螺旋线性相关。2222222222(sinsincos;sin0sin)(sin0;cossinsincos)(sinsincos;sin0sin)(sin0;cossinsincos)ABCDlnnlnlmnmnmnmlnnlnlmnmnmnm$$$$()()ACBDml$$$$(3)(4)因为空间3条不相交的直线必定不相关，可知运动螺旋系最大线性无关数目为3。所以机构运动螺旋的反螺旋数为3，即机构的公共约束为3，则机构的阶也为3。由修正的G-K公式计算可得此外，注意到不论l,m,n,β如何变化，式(4)总不变。所以Bennett机构的自由度总为1。Bennett机构自由度计算113441401giiMdngfv空间机构自由度计算的其他问题（1）分支中含有闭环Delta机构用“自由度等价的串联链以代替局部闭环”空间机构自由度计算的其他问题（2）古典机构的自由度计算（单环过约束）Myard机构Bricard机构空间机构自由度计算的其他问题